レッスン
理論 — ジェットコースター・エネルギーシミュレーター
摩擦のないコースでは、力学的エネルギーは保存されます。つまり、運動エネルギーと位置エネルギーの和はどこでも常に一定です。この1文だけで、力や時間経過、坂の形状を一切考慮することなく、最初の高さだけでコース上のあらゆる点における速さが決定されます。
各記号の意味
h- 基準面からの高さ。どの高さを 0 と呼ぶかは答えを変えません。式に入るのは落差
h₀ − hだけなので、基準面を動かせば両方の高さが一緒に動くからです。 v- 速さ。力から計算するのではなく、表示部がエネルギーから導出しています。
KE- 運動エネルギー、
½mv²。 PE- 位置エネルギー、
mgh— スタート時は1 × 9.81 × 5による49.05 J。 μ- 摩擦係数。0より大きく設定すると途中でエネルギーが失われ、その減少量は低くなった高さではなく移動距離によって決まります。
公式の導き方
- エネルギー保存則によれば、全体の総和は一定です：
½mv² + mgh = ½mv₀² + mgh₀。 - すべての項に共通の因数 m が含まれているため、両辺を m で割ります：
½v² + gh = ½v₀² + gh₀。質量が消去され、完全に影響を与えなくなります。 - 速さについて解くと
v = √(v₀² + 2g(h₀ − h))となります。現れるのは高さの低下分だけであり、表示部に力ではなく単位質量あたりの初期エネルギー49.05 J/kgが表示されるのはこのためです。
- 前提
- 拘束されたコース上を滑る質点を対象とし、回転なし、空気抵抗なし、かつレール上にとどまるのに十分な速さがあることを前提としています。ここでは、コースの頂点で台車が実際にレールから離脱するかどうかは検証していません。
- 成り立たない場合
- ステップ2は単に信用するだけでなく、実際に試してみる価値があり、このページで確認できます。中間点での速さの表示は
7.8912 m/sですが、質量を1 kgから500 kgに変更しても表示は7.8912 m/sのまま — 全く同じ — であり、一方でKEは31.135 Jから15,568 Jへと急増します。重い台車ほど大きなエネルギーを持ちますが、速くなるわけではありません。摩擦があってもこの関係は崩れません。単位質量あたりの損失はμgsであり、これも質量に依存しないからです。
練習
自分で確かめる
まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。
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質量の入力欄は
1 kgに設定されています。これを500 kgに変更し、中間地点での速度がどうなるか予測してみましょう。答えを表示
全く変化しません —7.8912 m/sのままです。エネルギー保存の式のすべての項に因子mが含まれているため約分され、速度は落下した高さだけに依存します。ただし、運動エネルギーは31.135 Jから15,568 Jへと変化します。より重い車両ははるかに大きなエネルギーを持ちますが、だからといって速度が速くなるわけではありません。 -
スタート時、表示パネルには
PE 49.05 J、KE 0 Jと示されています。コースターが最高速度に達するのはどの位置でしょうか？また、そのときの合計エネルギーはいくらになるでしょうか？答えを表示
コースの最も低い地点で最高速度に達し、合計エネルギーは依然として49.05 Jのままです — これこそがエネルギー保存法則のすべてです。位置エネルギー（PE）が運動エネルギー（KE）に変換されただけであり、新たに生み出されたり消失したりしたわけではありません。摩擦がゼロであれば、いくつの坂を越えようともその合計が変化することはありません。 -
摩擦係数をゼロより大きく設定してみてください。失われるエネルギーは、コースターが移動した距離に依存するでしょうか、それとも失われた高さに依存するでしょうか？
答えを表示
移動した距離に依存します。表ではエネルギー損失をμgsと示していますが、ここでsは移動経路の距離（道のり）です — 表示パネルが高さとは別に距離を追跡しているのはそのためです。長い平坦な区間ではエネルギーが失われますが、同じ長さの垂直落下ではエネルギー損失はほとんどありません。なお、この式にも質量は含まれていないため、摩擦があっても前の質問の答えが崩れることはありません。
全プロセスの詳細解説
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軌道上の5 mから静止状態から放たれた1 kgの車両 6 ステップ
軌道 0,5; 2,3; 3,6; 5,1; 7,4; 9,2; 10,5 上の 5 m の位置から静止状態で放たれた 1 kg の台車。それが最終的にどこへ到達するかを求めよ――そしてそれは終点ではない。
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摩擦がない場合、全エネルギーは解放時の高さによって決定され、変化しない。1 kg と 5 m が、この問題に与えられたすべての入力である。
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速度について変形すると、同じ関係式は制約条件となる。すなわち、台車は平方根の中身が実数となる位置にしか存在できない。軌道を描く前に、これが解答のすべてとなる。
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軌道上の極大値を読み取る。ピークは解放点よりも高い位置にあり、これで決着がつく。その先にある 1 m への落ち込みが議論に入り込むことは決してない点に注意されたい。
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折り返し地点を正確に求める。それは (2,3) から (3,6) への登り区間上にあり、直線セグメントが解放時の高さを再び横切る場所である。
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経路の長さが重要になるのは、摩擦が水平方向ではなく経路に沿って作用するからである。6 つのセグメントに対し、6 回のピタゴラスの定理の適用が必要となる。
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最後に 2 つの速度を求めて締めくくる。台車がその短い往復運動の中で実際に達する最高速度と、コースの残りを解放するために必要な初速度である。
解答
x = 2.667 m で折り返し、コースの先へは進めません。 x = 3 の丘は高さ 6 m、出発点は高さ 5 m ですから、そもそもエネルギーが足りません。その地点より先では、どの位置でも表示が 停止 となります。これはツールの不具合ではなく、計算と一致している証拠です。この問題にシミュレーションは要りません。エネルギー保存則を使えば、微分方程式が不等式 h ≤ h₀ に帰着し、出発点から障害物までのコース形状は結果に影響しないからです。頂上で台車に 4.43 m/s の速さを与えると、20.972 m のコース全体を走れるようになり、x = 5 の谷では速さが 9.90 m/s に達します。それより遅ければ、その先の区間には到達できません。
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学習の道すじ
力ではなくエネルギーで
参考文献 (1)
- Why real loops are not circles, and what that does to the forces at the top: A.-M. Pendrill, "Roller coaster loop shapes revisited." Physics Education 51(3), 030106, 2016.