自由落下計算機

重力下での自由落下の落下時間・衝突速度・エネルギー

計算例 — 自由落下計算機

落下時間 (Impact)	4.5152 s
衝突速度	44.29 m/s (159.5 km/h / 99.1 mph)
1kgあたりの運動エネルギー	981 J/kg

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 自由落下計算機

自由落下とは、空気抵抗を考慮せず、重力のみの影響下で起こる運動である。落下全体を通して一定の加速度 g が作用し、パネルに表示されるすべての数値は、この単一の前提から導かれる — 他の力は加えられておらず、除外されてもいない。

各記号の意味

h: 鉛直下向きに測定した落下高さである。問題における唯一の距離であり、物体が横方向にどれだけ移動したか、またどのような形状をしているかは関係しない。
g: メートル毎秒毎秒（m/s²）で表される重力加速度である。月面の値である 1.62 に設定すると、同じ100 mの落下時間は 4.5152 s から 11.1111 s に延び、到達時の速度は 44.29 m/s ではなく 18 m/s となる。
v: 着地の瞬間の衝突速度であり、平均速度ではない。物体は最後の瞬間を除き、落下全体を通じてこれより遅い速度で移動していた。
t: 落下時間である。高さの平方根に比例して増加する点が直感に反しやすい — 落下高さを10倍にしても、時間は 3.1623 倍にしかならない。

公式の導き方

等加速度運動かつ静止状態からの開始において、距離は h = ½gt² である。物理学としてはこれがすべてであり、残りは代数計算である。
時間について解くと t = √(2h/g) となる。高さを2倍にしても落下時間が2倍にならない理由は、この平方根にある。
時間 t 経過後の速度は v = gt である。ステップ2の時間を代入すると v = g·√(2h/g) = √(2gh) となる — 高さと重力加速度は対称に作用し、どちらの式にも質量は現れない。
1 kg あたりの運動エネルギーは ½v² であり、√(2gh) を2乗すると正確に g·h に戻る。h = 100 かつ g = 9.81 のとき、3つ目の行（「1kgあたりの運動エネルギー」）は 981 J/kg （つまり 9.81 × 100）を示す — 表示される数値は2つの入力値の積にほかならない。

表示の読み方

高さを変えて、上の二行が連動して動くものの、変化の歩調は異なることに注目してください。1000 mに設定すると、4.5152 sだった落下時間は14.2784 sに、44.29 m/sだった着地速度は140.07 m/sになります。高さが10倍になれば全体が√10倍になるため、どちらの値も3.1623倍されているわけです。代わりに高さを4分の1にしてみると、速度は正確に半分になります。速度vは√hに比例するからです。つまり、25 mでは22.15 m/sとなるのです。

前提: 空気抵抗なし、静止状態からの落下、そして落下中に重力が変化しないこと。これら三つのうち、最後のものが最も無理のない仮定です。高度が上がればgは減少するため、実際の1000 mの落下では今回のように単一の値で進むことはありません。
成り立たない場合: このモデルが破綻する最大の要因は空気抵抗であり、その影響は軽微ではなく劇的である。実際のスカイダイバーは 55 m/s 付近の終端速度に達すると加速を停止するため、このページでの 1000 m の計算値 140.07 m/s は、現実の2倍以上の過大評価となる。この公式には上限を設ける項が存在せず — v = √(2gh) は制限なく増大する — したがって表示される数値は、単に少し楽観的な値というわけではなく、まったく別の問いに対する回答となっている。

ガリレオは落下する球の時間を測定できなかったため、重力を遅くした 🖖

数メートルの落下は1秒足らずで終わってしまい、1600年当時に存在した最高の時計は天秤で重さを測る水時計だった。そのためガリレオは重力と正面から戦うのではなく、重力を薄めることにした。緩やかな斜面で球を転がせば、同じ一定の加速度が本来の何分の一かの強さで作用し、運動が引き延ばされて手作業で測定できるようになる。彼が発見したのは、連続する等時間間隔で進む距離が 1, 3, 5, 7 — 累積和が 1, 4, 9, 16 の平方数になる奇数の比に従うことだった。こうしてストップウォッチなしで h ∝ t² が確立された。上の重力ボックスはソフトウェアでこれと同じことを行っている。値を 1.62 に設定しても物理法則そのものは変わらず、物理現象が進行するペースが変わるだけである。

練習

自分で確かめる

まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。

高さ100mの塔（地球）を押すと 4.5152 s、44.29 m/s、981 J/kg。次に重力加速度を月の 1.62 にし、高さはそのままにすると、衝突速度は 18 m/s まで落ちます。月面で同じ強さで着地させるには、どれだけの高さから落とせばよいでしょう。そして、そこに達したことをどの行が教えてくれるでしょう。

答えを表示

約 605.5 m、重力が6分の1なら高さは6倍です。注目すべきは三行目です。キログラムあたりの運動エネルギーは g·h だけで決まるため、981 J/kg を揃えることは速度を揃えることと同義です。605.5 と 1.62 では 980.91 J/kg と 44.29 m/s となり、地球での 981、そして同じ 44.29 という値に符合します。落下には 4.5152 s ではなく 27.341 s かかります。同じ速度に達するまでに6倍の時間を要するのです。強い重力が短時間で行うことを、弱い重力は距離で補う必要があるからです。
実際のスカイダイバーは 55 m/s あたりで加速をやめます。落下高さがどれくらいを超えると、このページは落下する人間が決して到達しない速度を示し始めるでしょう。

答えを表示

154 m と 155 m のあいだです。154 で 54.97 m/s、155 で 55.15 m/s。この境目は多くの人が思うより低く、それより上はすべて空気ではなく真空についての答えになります。差はその後急速に開き、1000 m ではページは 140.07 m/s と表示します。空気中を落ちる物体がそもそも超えられない速度の2.5倍です。

全プロセスの詳細解説

g = 9.81 m/s² における100 mからの石の落下 5 ステップ
g = 9.81 m/s² とし、100 mの高さから石を落下させます。落下時間、衝突時の速さ、およびキログラムあたりのエネルギーを求めなさい。さらに、落下の過程でそれぞれの中間点がどこにあるのかを調べます。高さが半分になるのもエネルギーが半分になるのも、時間が半分の時点ではないからです。
1. 変位は時間の2次関数であるため、高さをゼロとおいて解くことが最初のステップのすべてである。
  
  $y (t) = h - \frac{1}{2} g t^{2} = 0 ⟹ t = \frac{2 h}{g} = \frac{200}{9.81} = 4.5152 s$
2. 速度はその瞬間で評価した微分係数である。単位を換算してみる価値がある。159 km/h は高速道路の走行速度であり、10階建ての高さからの落下に相当する。
  
  $v = g t = 9.81 \times 4.5152 = 44.29 m/s = 159.5 km/h$
3. キログラムあたりの運動エネルギーに v² = 2gh を代入すると速さが消去され、落下の高さと重力だけが残ります。これは位置エネルギーがそのまま還元されたものであり、だからこそ数値は 981 ぴったりになるのです。
  
  $v^{2} = 2 g h ⟹ \frac{E _{k}}{m} = \frac{1}{2} v^{2} = g h = 9.81 \times 100 = 981 J/kg$
4. 次に落下の推移について考える。高さを全体に対する割合として表すと、時間依存性は単なる2乗となり、2乗の性質は手厳しい。経過時間の半分で進む距離は四分の一にすぎない。
  
  $\frac{y}{h} = 1 - (\frac{t}{t _{imp}})^{2} : t = \frac{1}{2} t_{imp} \Rightarrow only 25% fallen; y = \frac{1}{2} h \Rightarrow t = 0.707 t_{imp}$
5. 空気抵抗は単なる進行のペースだけでなく、到達時の状態をも変化させる。終端速度を 55 m/s とした場合、閉形式による解は 38.0 m/s を与える。速度では 14% の減少にとどまるが、エネルギーでは 26% の減少となる。エネルギーは2乗に比例するためであり、質量が再び計算に関わってくるのはこのステップのみである。
  
  $v_{t} = 55 m/s : v_{imp} = v_{t} 1 - e^{- 2 g h / v_{t}^{2}} = 55 1 - e^{- 0.6486} = 38.0 m/s, \frac{E _{k}}{m} = 721.8$
解答

4.5152 s、44.29 m/s、そしてぴったり 981 J/kg です。最後の数値は純粋な gh です。質量は完全に相殺されるため、小石であれピアノであれ、到達時のキログラムあたりのエネルギーは同じになります。落下の進行は極端に後半へ偏っています。経過時間が半分の時点で石は落下距離の四分の一しか進んでおらず、中間の高さに到達するには全時間の71%を要します。行程の半分が最後の29%の間に過ぎ去るのです。上から見下ろしたときには助かりそうに見える落下が、実際にはそうではない理由がここにあります。

$t = 4.5152 s, v = 44.29 m/s, E_{k} / m = g h = 981 J/kg$

学習の道すじ

力ではなくエネルギーで

参考文献 (3)

Where “distance goes as the square of the time” comes from — the result the whole panel rests on: Galileo Galilei, Two New Sciences, including Centers of Gravity & Force of Percussion, translated by Stillman Drake. University of Wisconsin Press, 1974. ISBN 0-299-06404-2. First published as the Discorsi in 1638.
The 9.80665 m/s² the gravity field is built around, and where that exact figure was fixed: Bureau International des Poids et Mesures, Declaration 2 of the 3rd CGPM (1901): “The value adopted in the International Service of Weights and Measures for the standard acceleration due to gravity is 980.665 cm/s².”
The “no air” assumption tested where there genuinely is none: NASA, “The Apollo 15 Hammer-Feather Drop.” Commander David Scott released a 1.32 kg geological hammer and a 0.03 kg falcon feather from about 1.6 m; both struck the surface together.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。