角運動量

摩擦のないターンテーブルに立ち、両手にダンベルを持って回転し、腕を引き寄せます。回転速度、ダンベルの質量、体自身の慣性モーメント、腕の曲げ伸ばしの範囲を設定してください。このページでは運動の積分をリアルタイムで行い、保存される量と変化する量を示し、腕が行った仕事を計算します。

計算例 — 角運動量

慣性モーメント（腕を伸ばした状態）	3.600 kg·m²
慣性モーメント（腕を曲げた状態）	1.200 kg·m²
角運動量（常に一定）	22.62 kg·m²/s
腕を曲げたときの回転	3.000 rev/s
ダンベルが回転軸に達したときの回転	3.462 rev/s
運動エネルギー（腕を伸ばした状態）	71.06 J
運動エネルギー（腕を曲げた状態）	213.18 J
回転と運動エネルギーの増加倍率	3.000

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レッスン

理論 — 角運動量

固定軸の周りを回転する物体の 角運動量 は L = Iω であり、その軸の周りの 慣性モーメント に角速度を掛けたものです。慣性モーメントは各質量の部分に軸からの距離の2乗を掛けて足し合わせたものなので、重心が r にあるダンベルは m r² + I_own を持ちます。これが 平行軸の定理 です。手の両側 d にある2枚のプレートの場合、I_own = m d² となります。軸の周りに外部からのトルクがない場合、L は変化しないため I_out ω_out = I_in ω_in となりますが、運動エネルギー ½ I ω² = L²/2I は腕が行う仕事によって変化します。

各記号の意味

I: ターンテーブルの軸の周りの慣性モーメント、kg·m²
ω: 角速度（rad/s）。ページでは f = ω/2π を rev/s で表示します
L: 軸の周りの角運動量、Iω、単位は kg·m²/s
I_b: 体とターンテーブル自身の慣性モーメントであり、引き寄せても変化しません
d: ダンベルのバーの長さの半分である 0.1 m。プレートは手の両側 d の位置にあります

前提: ターンテーブルの軸受けには摩擦がなく、体に触れる他のものがないため、回転軸の周りのトルクは存在しません。腕の質量はゼロとします。片腕あたり数キログラムある実際の腕の場合、腕を伸ばしたときの慣性モーメントと増加分がより大きくなります。各ダンベルは軽いバーに付いた二つの点状のプレートであり、腕を横切るように水平に保たれます。体自身の慣性モーメントは腕の動きによらず一定であるとします。計算される仕事はダンベルを円運動に保つための引力 mω²r によるものです。出し入れの動きに伴う小さなエネルギーは両端でゼロとなるため除外しています。

ダンベルを引き寄せると運動エネルギーが3倍になる 🖖

引き寄せる、2 kgを押して、軸上にある二つの矢印に注目してください。回転が1から3.000 rev/sへと三倍に増える間も、Lは長さを保ちます。外部から軸の周りにトルクは働いていないため、慣性モーメントが3.600から1.200 kg·m²へと減少しても、L = Iω は維持されなければならないからです。運動エネルギー ½Iω² = L²/2I はそのように守られてはおらず、同じ割合で 71.06 J から 213.18 J へと増加します。この増えたエネルギーには出所があります。二つのダンベルを半径 r で回転させ続けるには、手で内側へ向かって 2mω²r の力で引かなければなりません。そして、その力の方向に引き寄せることこそが仕事です。二つ目のパネルの、曲線の下にある網掛け部分がそれを示しています。結果の表ではこれを千の短冊に分けて足し合わせ、142.12 J を得ています。これは表示されている最後の桁まで、エネルギーの増加分と一致します。手を再び外側へ押し戻すと、今度は同じ引く力が腕に対して仕事を行い、回転は元の 1 rev/s に戻ります。

手は4倍近づくが、回転は3倍にしかならない 🖖

手に持った点状のダンベルがすべてであれば、L = 2mr²ω の関係から、0.8 m から 0.2 m へ引き寄せることで回転は16倍速くなるはずです。しかし、このページでは 3.000 と示されています。回転するものの大部分は、引き寄せても動きません。体とターンテーブルは 1 kg·m² を維持し、各ダンベルは平行軸の定理によって、どんなに近づけても自身の大きさに由来するモーメント md² を保ちます。そのため上限が存在します。両方のダンベルが回転軸にある場合、回転の行は 3.462 rev/s となり、どれだけ引いてもこれを超えることはありません。重いダンベルは、回転するものの中でより大きな割合を占めます。重いダンベル (10 kg) では回転が 7.000 倍になりますが、開始時は毎秒4分の1回転であるにもかかわらず、最終的に両手は 483.6 N の力を支えなければなりません。

角運動量がまったくなくても向きを変えることはできる 🖖

静止からのストローク を押してください。L は最初から最後までゼロですが、1回のストロークが終わるごとに体は 25.00° 回転した状態になります。腕を伸ばしたまま 45° 振ると、ダンベルが回転全体の 3.600 kg·m² のうち 2.600 を占めるため、体は反対方向に 32.50° 回転します。引き寄せて逆に振ると、今度は 1.200 のうちの 0.200 になるため、体は 7.50° しか戻りません。体に対する腕の位置は元の場所に戻りますが、体自体は戻りません。角運動量がゼロの場合、持続する回転は禁止されます。腕を振っていない間は体も静止しており、腕を伸ばしたままの往復 では 0.00° に戻ります。逆さまで落とされた猫も角運動量を持っていませんが、きちんと足から着地します。Thomas Kane と M. P. Scher は1969年にその力学的な説明を発表し、1970年には人が手足を動かして向きを変える仕組みについての研究を発表しました。

全プロセスの詳細解説

引き寄せる途中で最も強く引く力がいるのはどこか？ 4 ステップ
2 kg のダンベルを 0.8 m から 0.2 m へ引き寄せ、L = 22.62 kg·m²/s とします。 両手が支える引力は開始時に 126.3 N、終了時に 284.2 N です。最後が最も力が必要でしょうか？もし違うなら、それはどこで、どれだけの力が必要でしょうか？最初のステップを確認するには 引き寄せる (2 kg) を押してください。

この問題をツールで開く
1. 両手は 2mω²r の力でダンベルを円軌道上に保ちます。ω = L/I(r) なので、引く力は r のみに依存します：
  
  $F (r) = 2 m (\frac{L}{I ( r )})^{2} r = \frac{2 \times 2 \times 22 . 6 2 ^{2} r}{( 1 . 04 + 4 r ^{2} ) ^{2}} F (0.8) = 126.3 N, F (0.2) = 284.2 N$
2. 表の 0.30 m の行にある 313.2 N は両端の値よりも大きいため、最大の引力はその間のどこかにあります。I′ = 4mr として、r/I² の導関数をゼロと置きます：
  
  $\frac{d}{d r} \frac{r}{I ^{2}} = \frac{I - 2 r I ^{'}}{I ^{3}} = \frac{I - 8 m r ^{2}}{I ^{3}} = 0 \Rightarrow I = 8 m r^{2}$
3. I を書き下し、r について解きます：
  
  $I_{b} + 2 m d^{2} + 2 m r^{2} = 8 m r^{2} \Rightarrow r^{* 2} = \frac{I _{b} + 2 m d ^{2}}{6 m} = \frac{1 . 04}{12} = 0.08667 \Rightarrow r^{*} = 0.2944 m$
4. 求めた r* を I に戻し、引力を求めます：
  
  $I (r^{*}) = 8 \times 2 \times 0.08667 = 1.3867 kg m^{2} F (r^{*}) = \frac{4 \times 22 . 6 2 ^{2} \times 0 . 2944}{1 . 386 7 ^{2}} = 313.3 N$
解答

引く力が最も大きくなるのは、手が回転軸から 0.2944 m の位置にあるときです。両手にかかる力は 313.3 N、片手あたり 156.7 N であり、約 16 kg の質量に相当します。これより内側では回転は上がり続けますが、ω² の増加よりも r の減少が早いため、最後の 9 cm はより少ない力で済みます。

$r^{*} = 0.2944 m : F_{m a x} = 313.3 N = 2 \times 156.7 N (\approx 16 kg a hand)$

学習の道すじ

回転と角運動量

参考文献 (3)

Conservation of angular momentum when the moment of inertia changes, and the skater's kinetic energy rising by I/I′ because of the work she does pulling her arms in, the page's first two claims: W. Moebs, S. J. Ling and J. Sanny, University Physics Volume 1, OpenStax, Houston, 2016. Section 11.3, "Conservation of Angular Momentum".
The falling cat, which turns over with no angular momentum, given a dynamical explanation: T. R. Kane and M. P. Scher, "A dynamical explanation of the falling cat phenomenon", International Journal of Solids and Structures 5(7), 663–670, 1969.
A person turning themselves round by moving their limbs, the page's third claim in a human body: T. R. Kane and M. P. Scher, "Human self-rotation by means of limb movements", Journal of Biomechanics 3(1), 39–49, 1970.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。