オイラーの座屈と細長柱

材料、断面形状、長さ、そして両端の支持条件を選んでみてください。柱が座屈する荷重、単純に圧壊する荷重、そしてそのどちらが先に起こるのかを計算します。

計算例 — オイラーの座屈と細長柱

断面積	706.86 mm²
断面二次モーメント	3.976 × 10⁻⁸ m⁴
断面二次半径 √(I ÷ A)	7.500 mm
細長比 KL ÷ r	400.0
座屈荷重	8.72 kN
圧壊荷重	176.71 kN
どちらが先に起こるか	8.72 kN
最終的な破壊モード	座屈

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レッスン

理論 — オイラーの座屈と細長柱

軸方向に荷重を受ける短い柱は、圧壊によって破壊します。応力が材料の強度に達して崩れる現象で、その荷重は断面積と強度の掛け算になります。一方で長い柱はそこまで持ちこたえられません。横に弓なりにたわんで折れ曲がる座屈が先に起こるからです。この時の荷重がオイラー座屈荷重 P = π²EI ÷ (KL)² です。ここで、E はヤング係数、I は断面二次モーメント、L は長さ、K は両端の支持条件による有効座屈長係数を表します。二つの破壊モードのうち、低い方の荷重で決まる破壊が実際に起こります。これら二つの関係は通常、細長比 λ = KL ÷ r を用いて比較されます。ここで r = √(I ÷ A) は断面二次半径と呼ばれ、材料が図心からどれくらい離れて配置されているかを示す長さの指標です。

各記号の意味

E: ヤング係数（単位：パスカル）。材料の伸びにくさを表す。オイラーの公式に含まれる唯一の材料特性
I: 断面二次モーメント（単位：m⁴）。断面形状だけで決まる性質であり、同じ重量なら丸棒より円管の方が優れている理由
r: 断面二次半径 √(I ÷ A)（単位：メートル）。断面の材料が図心から実質的にどれだけ離れているかを示す
λ: 細長比 KL ÷ r。どちらの破壊モードが起こるかを決定づける一つの指標
K: 有効座屈長係数（端末条件係数）。両端ピン支持なら 1、両端固定なら 0.5、一端自由なら 2

前提: 完全にまっすぐな柱、完全に中心を通る荷重、均一な断面、そして破壊の瞬間まで弾性を保つ材料を前提としています。どれも非常に理想的な条件です。オイラー座屈荷重は、完璧な柱が安定を失う点であって、実際の柱が壊れる荷重ではありません。実際の柱は最初からわずかに曲がっており、荷重も中心からわずかにずれているため、即座にたわみ始め、この理論値を下回る荷重で破壊します。この数値は、そのまま利用できる耐力としてではなく、決して超えられない上限値として扱ってください。実際の設計基準が、二つの曲線の交わる鋭い角を、実験データに基づいた滑らかな曲線で置き換えているのはそのためです。
成り立たない場合: 境界細長比の付近では、どちらの理想化も正しくありません。柱がそこそこずんぐりしているため、弾性座屈荷重に達する前に圧縮側の材料が降伏し始め、実際の破壊荷重は二つの曲線のどちらよりも低くなります。また、I形断面でも目に見える形で前提が崩れます。圧延H形鋼はある軸回りの剛性が別の軸回りの約13倍もあるため、補剛されていない柱は弱軸回りに横方向へ座屈します。したがって、このページにも表示されている強軸回りの数値を使って設計するのは間違いです。さらに、木材に関しても表では示せない形で前提が崩れます。木材には降伏点が存在せず、細胞壁が潰れることで破壊するため、ここで引用している数値は降伏点ではなく、等級分けされた母集団の基準圧縮強さに過ぎません。

高強度鋼にしても座屈荷重は上がらない 🖖

細長い支柱を押してから、同じ形状の高張力鋼を押してみてください。同じ形状、同じ長さ、同じ支持条件で、材料の強度だけが2.76倍になっています。しかし座屈荷重は変更前の 8.72 kN から 8.72 kN と変わりません。近い値というわけではなく、コンピュータが保持する全桁にわたって全く同じです。オイラー座屈荷重は π²EI ÷ (KL)² であり、材料の強度はどこにも含まれていません。関係するのは剛性を表すヤング係数 E だけであり、鋼の種類が違ってもヤング係数はほぼ同じです。より強い鋼にして得られたのは、176.71 kN から 487.73 kN に上がった圧壊荷重だけですが、この柱がその荷重に達することは永遠にありません。材料強度の利用率の行を見ると、4.93% から 1.79% へと逆方向に動いています。優れた材料を使ったはずなのに、かえって悪い数字になっているのです。

二つの破壊モードが入れ替わる長さがある 🖖

圧壊に長さは関係ありませんが、座屈には長さがほぼ全てです。そのため、最初のパネルに描かれた二つの曲線はどこかで必ず交差します。その交点が境界細長比であり、λ = π√(E ÷ 強度) で表されます。ここには長さも、断面積も、断面形状も含まれておらず、二つの材料特性があるだけです。構造用鋼の境界細長比は 88.86 で、高張力鋼は 53.49 です。見方を変えれば、材料が強くなればなるほど、強度にお金を払う意味が早く失われるということです。境界細長比より下の領域では強度に投資することになりますが、上の領域で投資の対象となるのは剛性と断面形状であり、もはや材料自身の強度は問題ではなくなっています。

断面寸法は4乗で効き、強度は1乗で効く 🖖

座屈の領域で強度が意味を持たないなら、何が意味を持つのでしょうか。2番目のパネルでは、断面の大きさを変化させながら実際の傾きを測定しています。座屈の分枝において、中実丸棒の限界荷重は直径の4乗に比例して増加し、測定値は 4.000000 となります。一方、圧壊の分枝では直径の2乗に比例し、測定値は 2.000000 です。つまり直径を2倍にすると、座屈荷重は16倍になるのです。中空の円管なら、同じ重量でさらに高い性能を発揮します。同じ量の金属を外側に配置すれば、断面積 A をほとんど変えずに断面二次モーメント I を大きくできるからです。足場用のパイプや自転車のフレームが円管である理由がここにあります。最初のプリセットにあった中実の丸棒は、鋼材の無駄遣いに過ぎません。

全プロセスの詳細解説

長さ 3 m の支柱に最適な鋼材を選ぶ 6 ステップ
両端ピン支持された長さ 3 m の支柱を、直径 30 mm の中実丸棒で作るとします。選択肢として、250 MPa の構造用鋼と、より高価な 690 MPa の高張力鋼が提示されました。それぞれがどれだけの荷重に耐えられるかを計算し、どちらを買うべきか答えてください。ツール上で最初の計算結果を見るには、細長い支柱を押してください。

この問題をツールで開く
1. まずは形状から確認しましょう。形状はどちらの鋼材でも同じであり、オイラーの公式に必要なのはそれだけだからです。直径 30 mm の丸棒の断面積は 706.86 mm² であり、断面二次モーメントは 3.976 × 10⁻⁸ m⁴ です。
  
  $A = \frac{π d ^{2}}{4} = 706.86 m m^{2}, I = \frac{π d ^{4}}{64} = 3.976 \times 1 0^{- 8} m^{4}$
2. 続いて断面二次半径を求めます。中実丸棒の場合、単純に直径の4分の1になるので 7.500 mm です。
  
  $r = \frac{I}{A} = \frac{d}{4} = 7.500 mm$
3. 両端ピン支持なので K = 1 です。したがって細長比は実際の長さを断面二次半径で割るだけとなり、3 ÷ 0.0075 = 400 となります。これは非常に細長い柱であり、構造用鋼の境界細長比 88.86 を大きく上回っています。
  
  $λ = \frac{K L}{r} = \frac{1 \cdot 3 . 0}{0 . 0075} = 400.0 λ_{c} = π \frac{E}{σ _{y}} = 88.86$
4. 次にオイラー座屈荷重です。鋼のヤング係数は共通なので、どちらも E = 200 GPa となります。
  
  $P_{E} = \frac{π ^{2} E I}{( K L ) ^{2}} = \frac{π ^{2} \cdot 200 \times 1 0 ^{9} \cdot 3 . 976 \times 1 0 ^{- 8}}{3 . 0 ^{2}} = 8.72 kN$
5. 続いて圧壊荷重です。二つの鋼材で違いが出るのはここだけです。
  
  $σ_{y} A σ_{y} P_{E} 250 MPa 176.71 kN 8.72 kN 690 MPa 487.73 kN 8.72 kN$
6. 二つの結果を比べてみましょう。どちらの鋼材でも支柱は 8.72 kN で座屈し、それぞれの圧壊荷重に近い力がかかることは決してありません。つまり、強い鋼材にしてもこの部材の耐力には全く寄与しないということです。
  
  $\frac{8 . 72}{176 . 71} = 4 . 93%, \frac{8 . 72}{487 . 73} = 1 . 79%$
解答

安い方の鋼材を買ってください。どちらも 8.72 kN で座屈するため、690 MPa の鋼材を選んでも、材料強度の利用率が 4.93% から 1.79% に下がるだけです。強度にお金を払っても何も得られません。耐力を向上させたいなら、オイラーの公式に含まれる要素を変える必要があります。支柱を短くする、中間に支持を追加する、ピン支持を固定支持に変える、あるいは同じ量の鋼材をより外側に配置するといった方法です。直径 30 mm の丸棒を外径 78 mm、肉厚 3 mm の円管に交換してみましょう。断面積はどちらも同じ 706.86 mm² なので、重量も価格も変わりません。しかし断面二次モーメントは 12.52倍に跳ね上がり、座屈荷重は 8.72 kN から 109.18 kN に向上します。材質を上げるのではなく金属を外側に配置するだけで、追加費用なしで12倍の性能を持つ柱が手に入るのです。これが設計の本質であり、座屈の問題に対して「より良い合金を使う」という答えが絶対に間違っている理由です。

$P_{E}_{250} = P_{E}_{690} = 8.72 kN \Rightarrow \frac{I _{78 \times 3}}{I _{30}} = 12.52$

学習の道すじ

荷重はどこへ流れるか

参考文献 (2)

Euler's own, and it is an appendix rather than the book. The critical load appears in the additamentum De curvis elasticis, which is where the elastica and this page's formula both start: L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, Additamentum I: De curvis elasticis. Lausanne and Geneva, 1744.
Where the five materials' stiffness and strength figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A standard materials-property handbook, e.g. the CRC Handbook of Chemistry and Physics or a structural-steel design code such as EN 1993-1-1 for steel and EN 338 for graded timber.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。