梁のたわみ計算機

梁の種類と荷重を選ぶと、たわみ曲線、曲げモーメント図、せん断力図が表示されます。

計算例 — 梁のたわみ計算機

R_A	5 kN
R_B	5 kN
M_max	12.5 kN·m
δ_max	15.631 mm

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レッスン

理論 — 梁のたわみ計算機

梁の剛性は梁の性質ではない。同じ板を同じように載荷しても、答えは端部の留め方だけで五十倍近く変わる——本棚が中央でたわみ、バルコニーが先端で垂れ下がるのはそのためだ。境界条件とは端部の留め方の正式な呼び名であり、それを選ぶことが構造設計のほとんどを占める。

各記号の意味

EI: 曲げ剛性——材料の弾性係数と断面二次モーメントの積。これは梁自身の寄与であり、支持条件が触れない唯一の部分である。
y′: たわみ曲線の勾配。支持がこれを許すか否かが、ピンと固定の違いのすべてであり、この一つの区別がドロップダウンの大半を生んでいる。
δ_max: スパン全体で最大のたわみ——見出しの数値であり、床の上にいる人が実際に足元で感じる量である。
L/δ: スパンを最大たわみで割った値。規準がミリメートルではなくこの比で書かれているのは、10 mm のたわみが 12 m では見えず 1 m では不安になるからだ。

公式の導き方

支配方程式は一度だけ書けばよい。一つしかないからだ。分布荷重 w(x) を受ける梁について EI·d⁴y/dx⁴ = w(x)。そこにないものに注目してほしい——ピンも固定も支柱も片持ちも、一言も出てこない。四回積分すれば y(x) が得られ、積分定数が四つ現れる。支持のドロップダウンがしていることは、その四つの数を決めることだけである。
では支持に何ができるのかを問おう。答えの一覧は短い。端部の移動を止める、回転を止める、その両方、あるいはどちらも止めない。ピンは端部を押さえるが自由に回らせる：y = 0 でモーメントはゼロ。固定は押さえたうえで回転を拒む：y = 0 かつ y′ = 0。自由端は何も止めない——モーメントもせん断力もゼロ。ドロップダウンの八項目はいずれも、この語彙から取った二つの組み合わせであり、それ以外の何物でもない。
では代価を見よう。ほかは一切動かさず——このページが最初に示す、5 m の鋼材に載る 1000 N/m——端部だけを変える。二つのピンの上で梁は 4.885 mm 下がる。両端を固定すると、同一の梁が 0.977 mm しか下がらない：ちょうど五倍の剛性で、5wL⁴/384EI が wL⁴/384EI になったからだ。支持を一つ丸ごと取り去れば、片持ち梁は 46.894 mm 落ちる——固定の四十八倍である。梁そのものには終始何一つ足していない。
気づくのはたわみだが、壊すのはモーメントである。単純支持の梁は端部でモーメントがゼロ、支間中央で wL²/8——ページは 3.125 kN·m と印字する。端部を固定すると端部自身がモーメントを負担できるようになるので、最大値は wL²/12、すなわち 2.083 kN·m まで下がり、支間中央から支点へと移る。梁が強くなったのではない。何もしていなかった材料へ、要求が再配分されたのだ。
当然の疑問が残る——ならば全部固定すればよいのでは。未知数を数えてみよう。静力学が与える式は三つ。したがって支持がちょうど三つの反力を与える梁は静定である——反力は釣り合いだけから決まり、ほかの何ものもそれを変えられない。四つ目の反力が加わると不静定になる：より剛く、より薄く、より軽く、そしてその瞬間から梁は「動かされること」に意見を持つようになる。それが支柱付きの場合が結んだ取引であり、連続した橋桁が渡るすべての橋脚の上で結んでいる取引でもある。

表示の読み方

因果の順に積み重ねられた三つのパネル——支持を実際の挙動どおりに描いた載荷状態の梁、次にせん断力、次にモーメント——そして支持形式を切り替えると三つが同時に描き直される。荷重のほうは何も変わっていないと確かめるには、これが最も早い。その下に反力、最大モーメント、最大たわみ、そしてスパンとたわみの比が並ぶ。設計者が読むのはこの最後の行だ：一般的な使用性の限界は L/250 であり、ここでの単純支持はそれをおよそ四倍上回り、片持ちのおよそ L/107 は、このページで唯一それを満たさない構成である。

前提: オイラー・ベルヌーイの梁理論——平面保持を仮定するのでせん断変形は無視する。曲率を y″ と書ける程度にたわみが小さいこと。降伏よりはるかに手前の線形弾性材料であること。スパンに沿って断面が変わらないこと。そして何よりこの授業にとって重要な仮定：完全な支持。摩擦のないピンと、回転剛性が無限大の固定である。
成り立たない場合: その最後の仮定こそ、模型が現実と別れる地点であり、それに気づくのは不静定の場合のほうである。固定端は、それが固定されている相手の分しか固定されていない。実際の接合部は有限の回転剛性をもち、このページが別々の選択肢として示す 4.885 mm と 0.977 mm のあいだのどこかに落ち着く。より深い隔たりは、このページが与えられた荷重に対して解いていることだ——不静定の梁は、荷重ゼロのまま、与えられた変位によって応力を受けうる。固定梁の支点が 3 ミリ沈下したら、あるいは両端をボルトで留めたまま午後の日射で鋼が温まったら、釣り合いでは予測できず、このページが何も描かないモーメントと軸力が生じる。二つのピンに載った静定の梁は、ただ肩をすくめて動くだけだ。橋桁が可動支承に載り、橋台とは櫛形の伸縮継手で接するのはこのためである——技師は、固定が奪った動きを買い戻し、その代金をたわみで支払っている。

平面断面は平面のままである — 梁が短くなるまでは 🖖

オイラー・ベルヌーイ梁理論は、曲げ変形後も平面断面が平面のまま保たれると仮定します。これは梁の長さが高さよりはるかに大きい場合によく成り立ちます。この理論が無視するせん断変形は、太く短い梁で無視できなくなり、その場合はティモシェンコ梁理論が代わりに用いられます。

3つの図、ひとつの因果の連鎖 🖖

このツールが3つのグラフを縦に並べるのは、それらが一つの物語のつながった段階だからです。荷重がせん断力を生み、せん断力が積み重なって曲げモーメントになり、モーメントが梁を曲げてたわみ曲線をつくります。各図は本質的に、すぐ上の図を積算したものです。便利な帰結として、曲げモーメントはせん断力がゼロを横切る点でちょうど最大になり、そこが梁に最も負担がかかる場所です。

ガリレオは最初の梁問題を間違えた 🖖

ガリレオは1638年の著書『新科学対話』——梁の解析の礎となる書——で片持ち梁の強度問題を提起しましたが、断面のすべての繊維が一様に引張られると仮定しました。片側の繊維が伸び、反対側が縮み、中立軸を中心に回転することを見落としたのです。彼のモデルは曲げ強度をおよそ3倍に過大評価しており、パランが、そしてのちにオイラーとベルヌーイがこれを修正するまで、ほぼ1世紀を要しました。

全プロセスの詳細解説

中央に10 kNの荷重がかかる長さ5 mの単純支持鋼梁 5 ステップ
スパン 5 m の単純支持鋼梁の中央に 10 kN の荷重が作用している。反力、曲げモーメント、およびたわみを求め、次に実際に設計を支配する限界値と比較確認する。
1. 静的釣り合いは対称性により直ちに定まる。荷重は支間中央に位置するため、各支点がその半分を負担し、この観察以上の計算式は不要である。
  
  $\sum M = 0 ⟹ R_{A} = R_{B} = \frac{P}{2} = 5 kN$
2. 最大モーメントは荷重の載る位置に生じ、そこでは各反力がスパンの半分の距離にわたって作用している。PL/4 は覚えておく価値がある。これは、他のすべてのケースが比較の基準とする単純支持・集中荷重の基本形式である。
  
  $M_{m a x} = R_{A} \cdot \frac{L}{2} = \frac{P L}{4} = \frac{10 \times 5}{4} = 12.5 kN m$
3. たわみの算出には、荷重だけでなく梁の剛性も必要である。ここに関与する特性は2つあり、E による材料特性と I による形状特性である。これらは積としてのみ計算に関与するため、ここではより高剛性の合金を選ぶことと、断面のせい（高さ）を大きくすることは同等である。
  
  $δ_{m a x} = \frac{P L ^{3}}{48 E I} = \frac{1 0 ^{4} \times 5 ^{3}}{48 \times 200 \times 1 0 ^{9} \times 8.33 \times 1 0 ^{- 6}}$
4. 値を代入すると 15.631 mm が得られる。スパンが式のどこに位置しているか、すなわち3乗されている点に注目されたい。たわみは、式中の他のどの要素よりも長さに大きく影響される。
  
  $= \frac{1.25 \times 1 0 ^{6}}{7.997 \times 1 0 ^{7}} = 0.015631 m = 15.631 mm$
5. 次に、設計の可否を決定づける確認を行う。使用性限界は一般にスパンの 360 分の 1 と定められており、5 m の場合は 13.89 mm となる。
  
  $\frac{L}{360} = \frac{5000}{360} = 13.89 mm < 15.631 mm$
解答

ツールが出力する値は、各支点反力 5 kN、曲げモーメント 12.5 kN·m、およびたわみ 15.631 mm である。この最後の数値は、梁が降伏からは程遠い状態にあるにもかかわらず、L/360 の使用性限界値 13.89 mm を満たしていない。これこそ構造力学の講義で最初に強調され、かつ直感に反する点である。すなわち、梁の寸法は通常、破壊にどれほど近いかではなく、どれだけ変形するかによって決定されるのである。スパンの3乗がその理由である。同じ梁を 10 m に伸ばした場合、たわみは2倍になるのではなく8倍の 125 mm に跳ね上がり、どれほど強度上の余裕があっても解決にはならない。

$δ = \frac{P L ^{3}}{48 E I} = 15.631 mm > \frac{L}{360} = 13.89 mm$
使用限界13.89 mmに対して15.631 mmたわむ梁 6 ステップ
パネルによれば、この梁は 15.631 mm たわみ、使用限界 L/360 は 13.89 mm——8 分の 1 だけ超過しています。施工者が次に問うのは梁をどれだけ大きくすべきかで、その答えは超過の大きさから想像するよりずっと小さいのです。
1. すでにパネルにある 2 つの数の比を取ります。この梁は限界が許すより 1.1254 倍たわみやすい。
  
  $\frac{δ _{m a x}}{L /360} = \frac{15.631}{13.89} = 1.1254$
2. たわみは断面二次モーメントに反比例し、長方形ではその量が「せい」を三乗で含む一方、幅は一乗でしか入りません。2 つの寸法は交換できません。
  
  $I = \frac{b d ^{3}}{12} ⟹ δ \propto \frac{1}{I} \propto d^{- 3}$
3. この帰結は、使う前に一度単独で言っておく価値があります。せいを 2 倍にすれば、たわみは半分ではなく 8 分の 1 になります。
  
  $d \to 2 d : δ \to \frac{δ}{2 ^{3}} = \frac{δ}{8}$
4. ならば三乗を逆に解きます。たわみを 1.1254 で割るには、せいを同じ数の三乗根だけ大きくすればよい。
  
  $(\frac{d}{d ^{'}})^{3} = \frac{1}{1.1254} ⟹ \frac{d ^{'}}{d} = 1.125 4^{1/3} = 1.0402$
5. 4 パーセント。300 mm の根太が 312 mm になり、落ちていた梁が通ります。
6. では代替案の値段を見ましょう。幅で解決するなら 1.1254 まるごと——同じミリ数を稼ぐのに 3 倍の材料増です。
  
  $\frac{d ^{'}}{d} - 1 = 0.0402, \frac{b ^{'}}{b} - 1 = 0.1254$
解答

4% せいの高い梁が 12.5% の超過を解消します。12.5% 幅の広い梁でも同じ仕事はできますが、追加材料は 3 倍です。床根太が正方形でも平置きの板でもなく、縦に立てた背の高い長方形である理由はまさにこれです。せい 1 mm は幅 3 mm に値し、同じ板が縦にすれば床、平らに置けば飛び込み板のように感じられるのは、この三乗のせいです。

$δ \propto d^{- 3} : δ \times 1.1254 ⟺ d \times 1.0402 ⟺ b \times 1.1254$

参考文献 (2)

The lesson — where the support-case coefficients (5/384, 1/384, 1/8) are tabulated: W. C. Young, R. G. Budynas and A. M. Sadegh, Roark's Formulas for Stress and Strain, 8th edition, ch. 8 — beams; flexure of straight bars. McGraw-Hill, 2012. ISBN 978-0-07-174247-4.
The shear correction this tool's first block says Euler–Bernoulli leaves out: S. P. Timoshenko, "On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars." Philosophical Magazine Series 6, 41, 744–746, 1921.

42Math チーム · 更新 2026-07-18

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例題

中央荷重 - 支間中央の集中荷重は 15.631 mm のたわみと 12.5 kN·m のモーメントを生み、各支点が 5 kN を負担する。
片持ち梁の先端 - 一端が自由なので先端は 27.011 mm 下がる——スパンとたわみの比は L/111.07。
等分布荷重の橋 - 等分布荷重として広げると同じ梁が 78.156 mm たわみ、この四つのうち最悪となる。
偏心荷重 - 中央から外すほうが穏やかで 13.437 mm、反力は 6.67 kN と 3.33 kN に分かれる。