アーチ、ケーブル、そして推力線

ゴールデンゲートブリッジ規模のケーブルを押してください。サグ（たるみ）143 mに対して、放物線から164.7 mm、懸垂線から407.7 mmずれて懸垂しています。床版なしケーブルを押すと、同じケーブルが懸垂線上にぴったり重なります。自重のみを支える鎖は、荷重がその長さに沿って分布します。傾斜が急な部分ほどスパン1メートルあたりの荷重が大きくなり、これが懸垂線を形成します。そこから吊り下げられた床版はスパンに沿って均等に分布し、こちらは放物線を形成します。ガリレオは吊り下げた鎖で放物線を描きましたが、それはあくまで近似にすぎません。その経緯は双曲線関数のページに記されています。吊り橋は、放物線の方がより良い解となる事例です。これら二つの曲線はこのサグにおいてわずか572.4 mm、つまり0.40%しか離れていません。上部のパネルが単一の線を示し、下部のパネルがミリメートル単位でその隙間を描画しなければならない理由はここにあります。ケーブルのサグをスパンの半分に設定すると、両者は5%離れます。

半円、t/R 0.12を押してください。推力線は石材の内部に収まり、各起拱点（ききょうてん）は半アーチの幅1メートルあたり94.25 kNの荷重を、0.6 mの石材へ真っ直ぐ下方に伝えます。これは平均0.16 MPaであり、あらゆる建築用石材が耐え得る圧縮強度のほんのわずかな割合にすぎません。半円、t/R 0.09を押すと、推力線は全く収まらなくなります。アーチは頂部、迫受（せりうけ）部、そして起拱点にヒンジを開いて崩壊しますが、石材は一つとして圧壊しません。アーチの安定性は、その幾何学的な形状のみにかかっています。デフォルトの40個の迫石（せりもちいし）において、このページは半円の限界をt/R = 0.1075としています。これはミルーティン・ミランコビッチが、自身の名を冠する氷期軌道説を発表する何年も前、1904年から1910年にかけて発表した推力線に関する論文で導き出した数値です。圧縮強度は全く関係ありません。十倍の強度を持つ石材でも、同じ厚さであれば崩壊します。

薄い懸垂線アーチを押してください。10 mのスパンに対して0.1 mの石材で構成され、見事に自立します。次に薄い放物線アーチ。同じスパン、同じライズ（高さ）、同じ厚さですが、こちらは全く成立しません。懸垂線が機能するのは、自重で垂れ下がる鎖がその全長にわたって純粋な引張状態にあるためであり、それを上下反転させれば、すべての力が同じ線に沿った圧縮力へと変わるからです。反転した懸垂線の推力線は石材のちょうど中心を貫くため、それを収めるための厚さを必要としません。ロバート・フックは1675年にこれを見抜き、あるアナグラムの中に隠しました。すなわち、しなやかな紐が垂れ下がるように、それを反転させれば硬いアーチは自立する、と。ガウディはコロニア・グエル教会（地下聖堂のみ完成）を設計する際、板から紐と散弾の入った小さな袋を吊るし、その写真を上下逆さまにしました。比較表にはこれら四つの形状すべてが記載されています。ライズがスパンの半分であるとき、尖頭アーチは半円となり、放物線は0.1444 m、半円は0.5373 mの厚さを必要とします。