特殊相対性理論エクスプローラー

速度スライダーをドラッグして、相対論的速度で時間・長さ・質量がどのように変化するかを見てみよう。

計算例 — 特殊相対性理論エクスプローラー

長さの収縮比	60%

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レッスン

理論 — 特殊相対性理論エクスプローラー

特殊相対性理論とは、2つの主張を同時に成り立つとみなすことから導かれるものです。すなわち、「一定の速度で動くすべての基準系で物理法則は同じに見える」こと、そして「光の速度もその物理法則の1つである」ということです。どちらの主張にも、時計や定規の話は一切出てきません。このページにあるすべて——引き伸ばされた時間、縮んだ長さ、傾いた座標軸——は、この2つの主張のどちらも諦めないことから生まれる結果なのです。

各記号の意味

β: 光速に対する割合として表した速度。β = 0.8 は覚えておくと便利な値です。√(1 − 0.8²) = 0.6 ときれいに計算でき（3-4-5の直角三角形と同じ比率）、γ はちょうど 5/3 になって、比率の行にはすっきりした 60% と表示されます。
γ: ローレンツ因子。これは純粋な数（独自の単位を持たない数値）です。だからこそ、同じパネル内で単位変換を挟むことなく、1.6667 という1つの値が秒・メートル・キログラムのすべてに作用できるのです。
t₀: 固有時間：2つの事象の両方に立ち会う1つの時計（旅行者自身の腕時計）で読み取られる時間間隔。下付き文字の「0」は初期値という意味ではありません。その物体が静止している場所で測定されたという意味であり、これを「開始時の時間」と誤読することが、この公式が上下逆に適用されてしまう最もよくある原因です。
L₀: 固有長：物体が静止している基準系で測定された長さ。これに対し、動いている物体の長さを測るということは、その両端の位置を同時に記録することを意味します——そして「同時」の解釈こそが2つの基準系で食い違うものであり、まさにそこから長さの収縮が生まれるのです。

公式の導き方

光で時計を作ってみましょう。距離 d だけ離れた2枚の鏡の間を、光パルスが往復します。静止状態では、1チック（往復1回）の時間は t₀ = 2d/c です。
次に、その同じ時計が速度 v であなたの横を通り過ぎていくとします。光パルスが飛行している間に鏡も横に移動するため、あなたから見える光の経路は隙間 d ではなく、より長い斜めの線になります。それでも光パルスはその経路を c の速度で進みます。なぜなら、第2要請（光速不変の原理）は動いている懐中電灯を例外としないからです。
この斜めの経路、鏡の隙間、そして横方向の移動量は直角三角形を形成するため、(c·Δt/2)² = d² + (v·Δt/2)² が成り立ちます。ここにステップ1の d = c·t₀/2 を代入します。
Δt² の項をまとめると Δt²(c² − v²) = c²t₀² となり、Δt = t₀/√(1 − β²) = γ·t₀ が導かれます。時計が何で作られているかについては何も前提を置いていません。だからこそ、ミューオンの崩壊にも鏡の間の光パルスと同じ因子が適用され、β = 0.8 のとき、上に表示されている 1.6667 s になるのです。

表示の読み方

時空図では、45°のオレンジの破線が光の経路を表します。あなたの座標軸は青のペア、旅行者の x' と ct' は緑のペアであり、それらは反対側から同じ角度で45°の線に向かって傾いています——光円錐を挟み込むように閉じつつも、決して超えることのないハサミのようです。長さの変化に注目してください。静止長 L₀ は旅行者自身の x' 軸に沿って描かれ、収縮した長さ L はあなたの x 軸上に映し出されたその影です。何かが物理的に圧縮されているわけではありません。線分が異なる角度の定規に射影されているだけなのです。事象を通る薄い赤の双曲線は較正曲線であり、その上のすべての点は原点から同じ固有時間の距離にあります。これによって、軸の目盛りのスケールが異なる2つの基準系間で目盛りを比較できるのです。

前提: 慣性系のみを対象としています。相対速度は一定で、加速度や重力はありません。ここには単一の β しか存在せず、引き返す手段がないため、このページ上で双子のパラドックスを発生させることはできません。2人の観察者間の対称性を破る要素は「復路」ですが、ここには復路が存在しないからです。
成り立たない場合: 「相対論的質量」の行は、古い記述方式の名残であり、現代の物理学者はこの考え方を使わなくなったことを知っておく価値があります。現在、質量は不変量として扱われます。因子 γ は物体そのものではなく、運動量 p = γm₀v に属するものです。理由は明確です。動いている物体を進行方向に押すとその抵抗は γ³m₀ となり、横方向に押すと γm₀ となります。1つの物体に対して、押す方向によって2つの異なる「質量」が存在することになってしまいます。したがって、上に表示されている 1.6667 kg は計算上の便宜的な数値に過ぎず、物体が重くなったわけではありません。

速度は足し算にならないが、ラピディティはなる 🖖

β = 0.5 に設定すると、ミンコフスキータブは運動系の軸を arctan β = 26.57° 傾けます。ところが同じブーストを二回かけても β = 1 には届きません。速度は (0.5 + 0.5)/(1 + 0.25) = 0.8 と、ちょうど 0.8 に合成されます。β = 0.8 に設定して γ = 1.6667 を読めば確かめられます。足し算になるのはラピディティ ψ = artanh β、つまりあの図の傾きを組み立てている量です。artanh 0.5 = 0.5493、二倍して 1.0986、そして tanh 1.0986 = 0.8。ラピディティはブーストの双曲角なので、ブーストは回転と同じように単純な加算で合成されます。有限個をいくら積み重ねても c には届きません。

なぜローレンツ因子 γ がすべてを決めるのか 🖖

このツールはただ一つの数、ローレンツ因子 γ = 1/√(1−β²)(β = v/c)を軸に動いています。歩く程度の速さでは γ ≈ 1 で相対論的効果は隠れていますが、v が光速 c に近づくと γ は限りなく大きくなります。v = 0.87c では γ = 2 となり、動く時計は半分の速さで進み、長さは半分に縮みます。c に達するには γ = ∞ が必要なため、質量をもつ物体は決して到達できません。無限のエネルギーが代償になるのです。

高速の物体は縮んで見えず回転して見える 🖖

長さの収縮は「測る」量であって「見える」姿ではありません。物体の遠い側から出た光は近い側より早く出発するため、高速で通り過ぎる物体の写真は、つぶれてではなく回転して写ります——球はやはり丸い輪郭を保ちます。このペンローズ・テレル回転は54年間見過ごされ、1959年にジェームズ・テレルとロジャー・ペンローズが独立に発見しました。

長さの収縮はエーテルを救うために考案された 🖖

1889年、George FitzGerald は Science 誌に1段落の手紙を送り、エーテル中を移動する物体はその運動方向に沿って物理的に縮むという説を提唱しました。その縮みの割合は、まさにこのページに L/L₀ として表示されている因子そのものでした。Lorentz も独自に同じ因子にたどり着きました。2人は共に、Michelson–Morley の実験のゼロ結果からエーテル説を救おうとしていたのです。実験装置がちょうど適切な量だけ収縮すれば、媒質中の自身の運動を検出できなくなります。Einstein の1905年の論文は、エーテルを一切使わず、2つの要請のみからまったく同じ数値を導き出しました。β = 0.8 のとき、どちらの理論でも数値は 0.6 になります。変わったのは計算式ではなく、その計算が意味するものです。向かい風によって押し潰される物質ではなく、2人の観察者が異なる角度で時空を切り取っているのです。この因子には今も Lorentz の名が冠されています。

最も重要な効果は、ここでは目に見えない 🖖

ミューオンのプリセットは、このページの説得力が最も発揮される例です。β = 0.9992 のとき γ = 25.005 となり、ミューオンの 2.2 µs の寿命が 5.501 × 10⁻⁵ s に引き伸ばされ、650 m の大気が 25.995 m に薄くなります。上空はるか高所で崩壊するはずの粒子が地表まで届くのはこのためです。この時間の遅れは、CERN の蓄積リングを周回するミューオンで直接測定されています。一方、実用に直結する例は、ここには表れません。GPS のプリセットを読み込むと、パネルには γ = 1 および Δt = 86400 s と表示されます。人工衛星の β は約 10⁻⁵ であり、効果全体が有効数字5桁未満に収まってしまうからです。しかし、この効果は確実に存在します。軌道速度によって人工衛星の時計は1日に約 7 µs 遅れ、重力によって約 45 µs 進みます。この差し引きを修正せずに放置すると、位置測定の誤差が毎日約 11 km もずれてしまいます。これら3つの数値のうち、特殊相対性理論に関わるのは最初の1つだけです。

練習

自分で確かめる

まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。

β = 0.8 では長さの収縮比がちょうど 60% と表示されます。β = 0.6、次に β = 0.28、次に β = 0.96 を試し、そのあと β = 0.5 を試して、なぜそれだけ様子が違うのかを見てください。

答えを表示

0.6 は 80%、0.28 は 96%、0.96 は 28% になり、対が入れ替わります。比は 1/γ = √(1 − β²) なので β² + (1/γ)² = 1 — 速度と収縮は斜辺 1 の直角三角形の二辺であり、この関係はどちらがどちらかを区別しません。だからきりのよい答えは、ちょうどピタゴラス数のあるところに現れます。(3, 4, 5) が 0.6/0.8 の対を、(7, 24, 25) が 0.28/0.96 を与えるのです。β = 0.5 はどの三つ組にも属さないので 86.603%、すなわち √3/2 になります。
GPS 衛星のプリセットは β = 0.0000133、実際の軌道速度で動きます。γ は 1、伸びた時間は 1 s、縮んだ長さは 1 m、比は 100% — 相対論的効果はすべて丸められて消えています。それでも運動エネルギーは 7.949×10⁶ J と表示されます。どの表示が嘘をついているのでしょうか。

答えを表示

どれも嘘ではありません。運動エネルギーの行だけが c² を掛けられるので、超過分が生き残るのもこの行だけです。γ − 1 は 8.845×10⁻¹¹、千億分の九であり、この行は丸めた γ ではなくまさにその値を代入しています。c² = 8.99×10¹⁶ を掛ければ 1 キログラムあたり 7.9 メガジュールです。ニュートン力学で確かめましょう。このプリセットの軌道速度は 3987.2 m/s なので、½mv² = ½ × 1 × 3987.2² = 7.949×10⁶ J、同じ数値になります。軌道速度では、相対論は長さでは測れず、エネルギーでは見逃せません。その差はすべて c² の大きさによるものです。

全プロセスの詳細解説

60 cm と測定されるメートル尺（0.8 c において） 5 ステップ
0.8c においてメートル尺の長さは 60 cm と測定される。これを導出し、次いでニュートン力学による運動エネルギーが同じ物体をどれほど過小評価しているかを求めよ。
1. すべてはひとつの因子に由来する。0.8c では平方根の値が正確に 0.6 となり、これは計算がきれいに収まる数少ない速度のひとつであるため、教科書でよく採用されている。
  
  $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}} = \frac{1}{1 - 0.64} = \frac{1}{0.6} = 1.6667$
2. 長さはその因子の逆数によって収縮するため、60% という値は近似ではなく、正確に 3/5 である。
  
  $\frac{L}{L _{0}} = \frac{1}{γ} = 0.60 = 60%$
3. この因子は表にしておく価値がある。その変化の挙動こそがこの主題のすべてだからである。光速の半分まではほとんど変化しないが、その後急激に上昇する。0.9c で 2.29、0.99c で 7.09、0.999c で 22.4 となる。
  
  $β = 0.9 : γ = 2.294; β = 0.99 : γ = 7.089; β = 0.999 : γ = 22.37$
4. 実用上の影響が顕著に表れるのは運動エネルギーである。相対論的な表現は ½mv² に補正を付け加えたものではなく、全エネルギーから静止エネルギーを差し引いた過剰分である。
  
  $K = (γ - 1) m c^{2} = 0.6667 m c^{2}$
5. 0.8c において、その値は 0.667mc² であり、ニュートン力学による 0.32mc² と対照的である。
  
  $\frac{1}{2} m v^{2} = 0.32 m c^{2} ⟹ Newton is short by a factor of 2.08$
解答

ツールには長さの収縮比率として 60% と表示される。パネルに表示されない数値はエネルギーに関するものであり、ニュートン力学はこの速度において 2.08 倍不足しており、その不足分は因子の増大とともに発散する。粒子加速器の性能が速度ではなくエネルギーで表記されるのはそのためである。装置によって陽子のエネルギーを二倍にしても、速度は 0.99c から 0.997c へと変わるだけであり、一見するとわずかな違いに思えるが、これこそが性能向上のすべてなのである。スライダーを 0.999c まで動かすと、速度が小数第三位の桁で変化する間に、長さの比率が 4.471% にまで低下する様子が確認できる。

$γ = (1 - β^{2})^{- 1/2} : L / L_{0} = 60% at 0.8 c, K = 0.667 m c^{2}$

参考文献 (7)

Rapidity as the additive hyperbolic angle of a boost: J. A. Rhodes and M. D. Semon, "Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession." American Journal of Physics 72(7), 943–960, 2004.
On stating time dilation and contraction without the usual sleights: N. D. Mermin, "Lapses in relativistic pedagogy." American Journal of Physics 62(1), 11, 1994.
The contraction proposed to reconcile the aether with the Michelson–Morley null result: G. F. FitzGerald, "The Ether and the Earth's Atmosphere." Science ns-13(328), 390, 1889.
The same factor derived from two postulates, with no aether: A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper." Annalen der Physik 322(10), 891–921, 1905.
Why the relativistic-mass row is a historical convention rather than current usage: L. B. Okun, "The Concept of Mass." Physics Today 42(6), 31–36, 1989.
Time dilation measured directly on muons in a storage ring: J. Bailey et al., "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in a circular orbit." Nature 268, 301–305, 1977.
The satellite-clock corrections, both signs of them: N. Ashby, "Relativity in the Global Positioning System." Living Reviews in Relativity 6, 1, 2003.

42Math チーム · 更新 2026-06-14

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例題

ミューオン (0.9c) - 0.9cで運動するミューオン:γ=2.29、時間の遅れが生じる
GPS衛星 - GPS衛星:わずかだが測定可能な時間の遅れ
光速の半分 - 光速の半分:γ=1.155
0.99c - 0.99c:γ=7.09、劇的な効果が現れる