不静定トラスと余剰材

三本の棒、あるいは二本の棒に荷重をかけてみましょう。材質と断面積を選び、棒を温めたり支点を沈下させたりしてから、棒が降伏するまで荷重を増やしてみてください。図の下にある表は、手計算で行うのと同じ手順で数値を導き出します。

計算例 — 不静定トラスと余剰材

不静定次数	1
中央の棒の剛性	50.000 kN/mm
外側の棒の剛性	35.355 kN/mm
節点剛性 K_xx	35.355 kN/mm
節点剛性 K_xy	0.000 kN/mm
節点剛性 K_yy	85.355 kN/mm
荷重ベクトル R_x	0.000 kN
荷重ベクトル R_y	+150.000 kN

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レッスン

理論 — 不静定トラスと余剰材

つり合い方程式だけで内部のすべての力が決まる構造を静定と呼び、方程式の数よりも未知の力が多い構造を不静定と呼びます。この超過分が不静定次数であり、余分な部材は余剰部材と呼ばれます。足りない方程式は適合条件から補われます。部材は互いに結合されているため、それぞれの伸びは結合部のひとつの変位に辻褄が合わなければなりません。弾性部材の伸びは、部材に働く力を剛性 k = EA ÷ L で割った値に、温度変化単独による伸びを足したものになります。こうして、静力学だけでは完結できない計算に材料の性質が組み込まれるのです。

各記号の意味

k: 棒の軸方向剛性、EA ÷ L（単位 kN/mm）。棒を一ミリメートル伸ばすのに必要な力
Δ: 棒自身の長さに沿った伸び（単位 mm）。適合条件とはこれらに関する条件のこと
N_y: 棒の降伏力。断面積と降伏応力を掛けたもので、どれほど伸びてもこれ以上の力は負担しない
P_y: 最初の棒が降伏する時点での荷重。剛性と、何らかの残留応力に依存して決まる
P_c: 崩壊荷重。弾性状態を保っていた残りの棒も降伏するときの荷重であり、静力学だけから求まる

成り立たない場合: ここまでの説明では、棒は降伏した後も伸び続けると仮定しています。軟鋼であれば、降伏ひずみの何倍にもわたって伸びるため、最初のブロックで見たような余裕度を活かすことができます。しかし鋳鉄の棒や、最初の降伏直後に破断してしまうような脆性的な棒では、力の再分配は一切起こりません。そのような部材の場合、二本棒トラスと全く同じように、崩壊荷重は初期降伏荷重に等しくなります。

中央の棒を外すと、最初の降伏が崩壊になる 🖖

鋼材、三本を押して、荷重を上げてみましょう。中央の棒が 213.39 kN で最初に降伏しますが、まだトラスは崩れません。この棒は伸びながらも 125 kN を支え続けます。それ以降に追加される荷重はすべて外側の二本が引き受け、301.78 kN に達して初めてトラスは崩壊します。では中央の棒を削除を押してみてください。二本の棒は 176.78 kN で同時に降伏し、残りの荷重を引き受ける三本目はありません。45° で配置された同じ太さの棒なら、三本棒トラスの崩壊荷重は初期降伏荷重のぴったり √2 倍になります。余裕度の行に 1.414 と表示されるのはそのためです。三本棒トラスにおける降伏は警告ですが、二本棒トラスでは完全な破壊を意味します。

暖かい午後には、何も載っていないトラスに 19.88 kN の力が生じる 🖖

加熱、無荷重を押してください。荷重はゼロですが、中央の棒だけ他の二本より 40 K 高温になっています。拘束がなければ 0.960 mm 伸びるはずです。しかし外側の棒が結合部の降下を妨げるため、トラスに何かをぶら下げる前から、中央の棒には 19.88 kN の圧縮力が、外側の二本にはそれぞれ 14.06 kN の引張力が働きます。次に二本棒、一本加熱を押してみましょう。二本棒トラスの一本を同じように 40 K 温めても、熱い棒も冷たい棒も 106.07 kN を支え、最後の桁まで一致します。二つの方程式がこの二つの力を決定しており、そこに温度は登場しません。結合部が単に移動するだけなのです。これが、最初のブロックで見た余裕度の代償です。不静定構造物の内力は、その剛性や温度、支点の沈下に依存します。一方で静定構造物の内力は、荷重と形状のみで決まります。並列に繋がれた二つの抵抗器も、すでに同じ壁に直面しています。保存則は電流の和を規定するだけであり、電流がどう分かれるかは抵抗値だけが教えてくれます。キルヒホッフのページにあるホイートストンブリッジは、直列や並列といった抜け道でそれを隠すことができなくなった回路なのです。

熱は最初の降伏をずらすが、崩壊荷重はそのまま残す 🖖

三本棒のまま、温度コントロールを動かしてみましょう。中央の棒を 100 K 冷やすと、荷重がかかる前からすでに引張状態になるため、最初の降伏は 128.54 kN へと早まります。逆に 100 K 温めると、荷重は棒を伸ばす前にまず圧縮を打ち消す必要があり、最初の降伏は 298.24 kN まで遅れます。しかし、崩壊荷重はどちらの場合も 301.78 kN です。他の条件を変えない限り、コントロールで温度や沈下をどう設定してもこの値は変わりません。そこに至る過程がどうであれ、鉛直荷重の下では、崩壊時に三本すべての棒が降伏力に達します。それらとつり合う荷重を決めるのは静力学だけなのです。残留応力は一本目の棒がいつ降伏するかを左右しますが、構造物がいつ崩れ落ちるかには一切関与しません。これこそが、架設や沈下が残した応力を誰も知らなくても、延性のある鋼構造の骨組を崩壊基準で設計できる理由です。ただし、それには降伏後も十分に伸びる部材が必要です。最初の降伏で破断してしまう脆性的な棒は、構造の余裕度を一緒に奪い去ってしまいます。

全プロセスの詳細解説

吊り下げ荷重を受ける三本の棒 7 ステップ
断面積 500 mm² の鋼の棒三本から 150 kN の荷重が吊り下げられています。一本は長さ 2 m で鉛直に、残りの二本はその両側に 45° の角度で配置され、すべて同じ梁に固定されています。各棒に働く力、最初の棒が降伏する荷重、そして全体が崩壊する荷重を求めてください。E = 200 GPa、降伏応力を 250 MPa とします。鋼材、三本を押して、それぞれの数値を確認してみましょう。

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1. まずは静力学からです。対称性から外側の二つの力は等しくなるため、水平方向のつり合いは自動的に満たされます。残るは鉛直方向の方程式だけであり、ここには二つの未知数が含まれます。
  
  $N_{c} + 2 N_{o} cos 4 5^{\circ} = 150 kN$
2. 三つ目の方程式が適合条件です。結合部が下方へ v だけ移動するとしましょう。中央の棒は v だけ伸び、外側の二本は v のうち棒の軸に沿った分だけ伸びることになります。
  
  $Δ_{c} = v, Δ_{o} = v cos 4 5^{\circ}$
3. それぞれの棒の剛性は EA ÷ L です。外側の棒は長さが √2 倍あるため、その分だけ柔らかくなります。
  
  $k_{c} = \frac{E A}{L} = \frac{200 \times 1 0 ^{9} \cdot 500 \times 1 0 ^{- 6}}{2} = 50.000 kN/mm, k_{o} = \frac{E A cos 4 5 ^{\circ}}{L} = 35.355 kN/mm$
4. 結合部の鉛直剛性は、中央の棒に、外側の二本が負担する鉛直成分を合わせたものになります。そこから結合部の降下量が導かれます。
  
  $K_{y y} = k_{c} + 2 k_{o} cos^{2} 4 5^{\circ} = 50.000 + 35.355 = 85.355 kN/mm, v = \frac{150}{85 . 355} = 1.7574 mm$
5. それぞれの剛性に棒の伸びを掛け合わせます。この二つの力が鉛直方向のつり合い方程式を満たしていることが、計算の確かめになります。
  
  $N_{c} = 50.000 \cdot 1.7574 = 87.87 kN, N_{o} = 35.355 \cdot 1.7574 \cdot 0.7071 = 43.93 kN$
6. 棒が弾性を保っている間、すべての力は荷重に比例します。中央の棒が真っ先に降伏力 500 mm² × 250 MPa = 125 kN に達するため、それに合わせて荷重を拡大しましょう。
  
  $P_{y} = 150 \cdot \frac{125}{87 . 87} = 213.39 kN$
7. それ以降、中央の棒は 125 kN を保ち、外側の棒は自分たちも 125 kN に達するまで残りの荷重を引き受けます。すべての力が明らかになったので、鉛直方向のつり合いから崩壊荷重が求まります。
  
  $P_{c} = N_{y} + 2 N_{y} cos 4 5^{\circ} = 125 + 2 \cdot 125 \cdot 0.7071 = 301.78 kN$
解答

棒にかかる力は、中央が 87.87 kN、外側の二本がそれぞれ 43.93 kN です。中央の棒が 213.39 kN で最初に降伏し、301.78 kN に達するまで全体が崩壊することはありません。どのステップで剛性が必要だったかに注目してください。150 kN の分配と初期降伏荷重を求めるステップ2から5で必要でした。しかし、崩壊荷重には必要ありません。ステップ7は、すべての棒が降伏力に達した状態でのステップ1の方程式であり、そこに E は一切登場しないのです。

$N_{c} = 87.87, N_{o} = 43.93, P_{y} = 213.39, P_{c} = 301.78 kN$

学習の道すじ

荷重はどこへ流れるか

参考文献 (3)

The three-bar truss is the textbook's own first example of a problem statics cannot finish, and this page's closed form for it is the one check:compute asserts against the stiffness solution: S. Timoshenko, Strength of Materials, Part I: Elementary Theory and Problems, 3rd ed. D. Van Nostrand, New York, 1955. The chapter on statically indeterminate problems in tension and compression.
Insight 3 is the plastic theorems at work: a self-stress from heat or settlement moves the first yield and not the collapse load. A modern account of compatibility, the plastic theorems and why an elastic solution is fragile where a collapse load is not: J. Heyman, Basic Structural Theory. Cambridge University Press, 2008. DOI 10.1017/cbo9780511754487
Where the four materials' stiffness, yield and expansion figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A standard materials-property handbook, or a design code such as EN 1993-1-1 for structural steel and EN 1999-1-1 for aluminium.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。