キルヒホッフの法則とホイートストンブリッジ

一つの電源、四つのアーム、そして一つの検出器を配置します。このページでは、ブリッジを解く唯一の方法である二つの節点方程式を用いて、検出器の読み値、平衡点の位置、そしてなぜ電源と検出器のどちらも平衡条件に現れないのかを解説します。

計算例 — キルヒホッフの法則とホイートストンブリッジ

節点方程式から求めた点Cの電位	6.6667 V
節点方程式から求めた点Dの電位	6.6667 V
検出器にかかる電圧	0.0000 mV
検出器を流れる電流	0 A
平衡からのずれ (R₁R₄ − R₂R₃)	0.00
平衡に必要なR₄の値	300.0000 Ω
電源から流れ出る電流	0.055556 A
二つの節点における残差電流	5.90 × 10⁻¹⁷ A

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レッスン

理論 — キルヒホッフの法則とホイートストンブリッジ

このページで扱う内容はすべて、二つの保存則から導き出されています。キルヒホッフの電流則は、接合部に流れ込む電流の和と流れ出る電流の和が等しいという法則です。これは電荷が回路のどこにも蓄積しないため成り立ちます。キルヒホッフの電圧則は、任意の閉回路を一周したときの電圧変化の和がゼロになるという法則です。出発点に戻った電荷はエネルギーを失いも得もしないからです。これを n 個の未知の節点電位を持つ回路に適用すると n 個の方程式が得られ、回路がどのような形状であっても解くことができます。ホイートストンブリッジは、これらの法則を必要とする最小規模の回路です。電源の間に四つのアームを持ち、中央を横切るように検出器を配置した構造で、R₁/R₂ = R₃/R₄ のときに平衡状態となります。

各記号の意味

E: 電源電圧（単位はボルト）。回路を流れるすべての電流を決定しますが、平衡条件の式にはどこにも現れません
V_C: 左側の中点における電位（単位はボルト）。二つの未知数の一つであり、この点での節点方程式が二つの方程式の一つになります
V_D: 右側の中点における電位。もう一つの未知数です
I_g: 検出器を流れる電流（単位はアンペア）。CからDへ流れるときを正とします。平衡状態のときにのみゼロになります
R_g: 検出器自身の抵抗（単位はオーム）。ブリッジが平衡していないときに流れる電流量を変化させますが、平衡点の位置には影響しません

前提: 理想的な導線、線形な抵抗器、定常的な直流、そして内部抵抗がゼロの電源を仮定しています。前のページでは、そのような電源は現実に存在しないと紙面を割いて説明しましたが、ここではその仮定があっても問題ありません。それこそが本ページの主題だからです。内部抵抗は電源と直列に入るため回路全体の電流を変化させますが、平衡点の位置は少しも動かさないのです。また、検出器は単純な抵抗として扱っています。可動コイル型の検流計には当てはまりますが、現代の電子式検出器には当てはまりません。
成り立たない場合: 交流電流では成り立ちません。交流ではアームが抵抗だけでなくリアクタンスも持ち、平衡させるためには大きさだけでなく位相も含めた二つの条件が必要になります。これにはインピーダンスブリッジを用います。また、非線形な素子にも適用できません。アームにダイオードやランプのフィラメントが含まれていると、比率の式に代入できる単一の抵抗値が決まらないからです。さらに精度に関しても、特筆すべき制約があります。ブリッジ測定の精度は、既知として扱う三つのアームの精度に完全に依存します。R₃ = R₁R₄/R₂ という式が、これら三つすべての誤差をそのまま引き継ぐからです。一方で、検出器は測定精度には一切影響を与えません。ゼロかゼロでないかを見分けられればそれで十分であり、数値を正確に測る計器を作るよりもはるかに容易なのです。

五つの抵抗があり、どれも直列ではない 🖖

前の三ページで学んだすべての知識がここで試されます。回路を見てみましょう。節点Cには、R₁、R₂、そして検出器の三本の導線がつながっています。直列ペアを構成するには他の何にも接触しない接合部が必要なので、R₁ と R₂ は直列ではありません。節点Dも同様です。五つの抵抗のうち、両端を共有しているペアもないため、並列でもありません。抵抗の合成法則を適用する場所が一つもないのです。ここで 検出器を取り外す を押してみてください。検流計がなくなることで節点Cの導線は二本に減り、ツールは直ちに R₁+R₂ と R₃+R₄ を認識します。ブリッジが単純化できない理由は検出器が存在しているからであり、まさにそれが検出器をそこに配置する目的です。代わりに回路を解き明かすのは、二つの保存則（節点における電荷保存と、閉回路におけるエネルギー保存）から導かれる、二つの未知数に対する二つの方程式です。

電池がどうであれゼロはゼロのまま 🖖

平衡状態 を押して、下の表の検出器の列を確認してください。1 V でも 100 V でも値はゼロです。5 Ω の検出器を使っても 500 Ω の検出器を使ってもゼロになります。同じ六つの行を見比べると、隣の列にある電源電流は 0.005556 A から 0.555556 A へと百倍の範囲で変動していますが、零点はまったく動きません。これが、ブリッジを単なる計算手法ではなく、優れた測定器にしている理由です。電源が実際にどれほどの電力を供給しているか、そしてメーター自身が回路にどれほどの負荷を与えているか。この最も把握しづらい二つの量が、ゼロを読み取ることによって完全に相殺されるのです。抵抗計ではこれら両方の値を把握する必要があり、測定の精度はその正確さに依存してしまいます。

比率だけが重要なので、許容できるアームを選ぶ 🖖

平衡条件は R₁/R₂ = R₃/R₄ であり、四つの抵抗に関する他の要素は一切含まれません。平衡状態 を押し、続いて アームを十倍に を押してみてください。R₁ と R₂ が 100 および 200 Ω から 1,000 および 2,000 に変化しても、検出器は依然として 0 A を示し、電源電流は 0.055556 A から 0.025556 A へと低下します。測定結果は同じでありながら、電流を半分以下に抑えられているのです。これこそが比例アームの役割です。供給できる電流や許容できる発熱量に合わせて最適なペアを選べばよく、どちらを選んでも未知の値は同じように求まります。

全プロセスの詳細解説

値が読み取れない抵抗を測定する 6 ステップ
R₃ は未知の抵抗です。R₁ = 100 Ω および R₂ = 200 Ω は精度 0.01% を誇る標準抵抗器であり、R₄ は検出器がゼロを示すまで調整するダイヤル式可変抵抗器です。R₄ = 300.0000 Ω で零点を示しました。 R₃ の値を求め、その値がどの程度の精度で信頼できるかを答えてください。

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1. 零点では検出器に電流が流れないため、C と D は同じ電位になります。この測定手法で必要な事実はそれだけです。
  
  $I_{g} = 0 ⟹ V_{C} = V_{D}$
2. R_g に電流が流れていなければ、R₁ と R₂ は単なる直列の分圧回路として振る舞い、R₃ と R₄ も同様になります。各中点の電位は、ペア全体の抵抗に対する下側アームの比率を電源電圧に掛けたものになります。
  
  $V_{C} = E \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}, V_{D} = E \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}$
3. 二つの中点電位を等しいと置くと、両辺から電源電圧が直ちに相殺されます。
  
  $\frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}$
4. たすき掛けをすると、式は単純な積の形である R₁R₄ = R₂R₃ へと整理されます。
  
  $R_{2} R_{3} + R_{2} R_{4} = R_{1} R_{4} + R_{2} R_{4} ⟹ R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3}$
5. したがって、R₃ = R₁R₄/R₂ = 100 × 300.0000 ÷ 200 = 150.0000 Ω となります。この式に含まれる要素をもう一度見てください。三つの抵抗値しかありません。電源電圧も、検出器の抵抗も、電流も含まれていないのです。
  
  $R_{3} = \frac{R _{1} R _{4}}{R _{2}} = \frac{100 \cdot 300 . 0000}{200} = 150.0000 Ω$
6. 教科書では省略されがちな精度の話にも触れておきましょう。相対誤差は掛け算と割り算を通じて足し合わされるため、R₃ は三つの既知のアームすべての誤差を引き継ぎますが、検出器の誤差は一切影響しません。
  
  $\frac{Δ R _{3}}{R _{3}} \leq \frac{Δ R _{1}}{R _{1}} + \frac{Δ R _{4}}{R _{4}} + \frac{Δ R _{2}}{R _{2}} = 3 \times 0 . 01% = 0 . 03%$
解答

R₃ = 150.0000 Ω、精度は約 0.03% です。 三つの標準抵抗器はそれぞれ 0.01% であり、最悪のケースではそれらの相対誤差が足し合わされます。検出器は精度には寄与しません。なぜなら、数値を求めたわけではなく、ゼロかゼロでないかの違いを見分けただけだからです。これこそがこの測定器が依拠している基本原理であり、ブリッジ回路が一世紀半にもわたってあらゆる直接測定法に勝ってきた理由でもあります。電流の大きさを正確に測れるものを作るより、電流がないことを見分けられるものを作る方がはるかに簡単なのです。

$R_{3} = \frac{R _{1} R _{4}}{R _{2}} = 150.0000 Ω \pm 0 . 03%$

学習の道すじ

オームの法則だけでは語れないこと

参考文献 (3)

The laws themselves, published while Kirchhoff was still a student. The paper is about current spreading through a plane conductor; the two rules this page uses are stated on the way: G. Kirchhoff, "Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige." Annalen der Physik 140(4), 1845, pp. 497-514. DOI 10.1002/andp.18451400402
The bridge, from the Bakerian Lecture that made it famous — and in which Wheatstone credits Christie rather than claiming it: C. Wheatstone, "XIII. The Bakerian lecture. — An account of several new instruments and processes for determining the constants of a voltaic circuit." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 133, 1843, pp. 303-327. DOI 10.1098/rstl.1843.0014
Christie's paper of ten years earlier, where the diamond of four resistances and a null detector appears first. The bridge carries the wrong name and has done since 1843: S. H. Christie, "VIII. The Bakerian Lecture. — Experimental determination of the laws of magneto-electric induction in different masses of the same metal, and of its intensity in different metals." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 123, 1833, pp. 95-142. DOI 10.1098/rstl.1833.0011

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