レッスン
理論 — 内部抵抗と起電力
実際の電源は、二つの要素が直列に繋がったものとして考えられます。一つは各クーロンに与えるエネルギーである起電力 E、もう一つは電解液や電極、端子への接続部など、内部で電流を妨げるすべての要素をまとめた内部抵抗 r です。外側から測定できるのは端子電圧 V = E − Ir であり、これが起電力と等しくなるのは電流が流れていない時だけです。回路を流れる電流は I = E/(R+r) となり、負荷は I²R の電力を受け取ります。電源自身は I²r を消費し、負荷に到達する割合は η = R/(R+r) となります。
各記号の意味
E- 起電力（ボルト）。電源が供給する1クーロンあたりのエネルギーであり、何も接続していない時の測定値です
r- 内部抵抗（オーム）。目に見える部品ではなく、電源が電流を妨げる性質全体を一つの数値にまとめたものです
R- 負荷（オーム）。このリストの中で唯一、電源ではなくあなたに委ねられている値です。
I- 電流（アンペア）。電源と負荷は直列になっているため、回路内のどこでも同じ値になります
η- 効率、R/(R+r)。電源の加熱に消えることなく、供給されたエネルギーのうち負荷に到達する割合です
- 前提
- ここでの前提は、起電力と内部抵抗が常に一定で、安定した直流が流れることです。いわゆる電源のテブナン等価回路ですね。線形電源であればこれは厳密に成り立ちますし、化学電池でも出発点として十分に機能する近似になります。もっとも、現実の電池では最初の二つの条件がゆっくりと崩れていきます。放電が進むにつれて r は大きくなり、冷え込めばさらに跳ね上がります。また、電池の残量が減れば E も下がります。冬の朝に車のエンジンがなかなかかからないのは、単なる一つの理由からではなく、これら二つの要因が同時に重なるからです。なお、リストに記載した各電源の数値は代表的な値であり、特定の電池を実測したものではありません。
- 成り立たない場合
- 特性が直線にならない電源では成り立ちません。リストの中では太陽電池がその最も顕著な例です。太陽電池の電流に対する端子電圧は曲線になるため、単一の r は局所的な近似に過ぎず、最大電力点も R = r の近くにはありません。だからこそ、太陽光インバーターは固定された整合負荷ではなく最大電力点追従機能を備えているのです。現実の化学電池も同様に直線から外れます。電流が大きすぎて電解液の反応が追いつかなくなると、予測される直線よりも早く電圧が落ち込みます。また、50%という結果は安定した電力についての話であり、蓄えられたエネルギーの話ではありません。整合負荷で電池を駆動させると最大の電力を引き出せますが、蓄電量の半分以下しか使えません。長持ちさせる必要がある機器でこのような設定が使われないのはこのためです。
全プロセスの詳細解説
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電池を分解せずに内部抵抗を求める 6 ステップ
電池、電圧計、電流計、そして 10 Ω と 1 Ω の二つの抵抗があります。 10 Ω の抵抗を繋ぐと電圧は 1.522593 V、電流は 0.152259 A になりました。1 Ω の抵抗では 1.313559 V で 1.313559 A です。起電力と内部抵抗を求め、さらに実際に短絡させることなく、短絡時にどうなるかを答えてください。
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測定できるすべての値は V = E − Ir という同じ直線上に並びます。二つの点があれば直線が決まるため、二つの抵抗で十分です。
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二つの測定値から傾きを計算します。1アンペアあたり −0.180000 V となります。
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その傾きは −r なので、内部抵抗は 0.1800 Ω とわかります。計算のために何かを分解する必要はありませんでした。
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切片が起電力です。どちらかの測定値で内部抵抗によって失われた電圧を足し戻します。
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もう一方の測定値でも確認してみましょう。これこそが二回測定した理由です。1.313559 + 1.313559 × 0.18 を計算すると、同じく 1.550000 V が得られます。
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これで直線の両端がわかり、その間にあるすべての情報も明らかになりました。電池が供給できる最大電力とその条件、そして完全に短絡させた時に流れる電流です。
解答
二回の電圧測定から E = 1.550000 V、r = 0.1800 Ω が得られます。この電池の最大出力は 0.1800 Ω の負荷に対して E²/4r = 3.3368 W であり、完全に短絡させると E/r = 8.611 A の電流が流れます。この最後の数値こそがこの計算方法の要点です。実際にそこまで試さなくても直線は軸まで伸びているため、決して試してはいけない条件下での動作を断言できるのです。また、これはバッテリー管理システムが電池パックの劣化を感知する方法でもあります。ラベルに書かれた電圧が下がるずっと前に、まず r が上昇し始めるからです。
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学習の道すじ
オームの法則だけでは語れないこと
参考文献 (2)
- Insight block 1 is one reading of the maximum power transfer theorem and there are several, which is what this survey is for — the load that takes the most power, the source resistance that does, and the conjugate match are three different questions with three different answers: S. C. Dutta Roy, "Many Faces of the Maximum Power Transfer Theorem." International Journal of Electrical Engineering & Education 40(2), 2003, pp. 103-111. DOI 10.7227/ijeee.40.2.1
- The Thevenin equivalent the whole page rests on, and the three forms of resistive power the results table uses. Cited across this chapter on purpose: one circuits text. J. W. Nilsson and S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.