ファラデーの法則：シンプルな発電機

磁場の中でコイルが回転します。一定の速度または一定のトルクで駆動し、負荷を接続するか、開回路のままにしてみてください。このページでは、コイルが一回転する間の磁束、電圧、電流、そして回転に逆らう力がどう変化するかを見ていきます。グラフの下の表には、詳しい計算結果が表示されます。

計算例 — ファラデーの法則：シンプルな発電機

角速度	314.2 rad/s
周波数	50.00 Hz
鎖交磁束の最大値	0.03000 Wb
起電力の最大値	9.425 V
起電力の実効値	6.664 V
電流の最大値	0.6283 A
逆トルクの最大値	0.01885 N·m
平均逆トルク	0.009425 N·m

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

レッスン

理論 — ファラデーの法則：シンプルな発電機

ファラデーの法則：コイルを貫く磁束が変化すると、それに沿って起電力が誘導されます。式は ε = −dΦ ÷ dt です。巻数 N、面積 A のコイルが磁束密度 B の磁場中を角速度 ω で回転する場合、磁束は Φ = NBA cos ωt、起電力は ε = NBAω sin ωt となります。ここで符号を決めるのが レンツの法則 です。誘導電流は、それ自身が作る磁場が元の磁束の変化を妨げるような向きに流れます。発電機においては、これが回転を妨げる力として現れます。負荷 R とコイル抵抗 r があるとき、電流は i = ε ÷ (R + r) となります。逆トルクが吸収する電力 τ_eω は、負荷とコイルの両方に供給される電気的電力と等しくなります。現実の駆動装置では、これに加えて摩擦による力も供給しなければなりません。

各記号の意味

Φ: 鎖交磁束。式は N B A cos ωt で、単位はウェーバです。コイル面が磁場と正対したときに最大となります
ε: 起電力。単位はボルトです。磁束の変化が最も激しくなる四分の一回転後に最大となります
ω: 角速度。単位は rad/s です。起電力はこれに比例して大きくなります
r: コイル自身の抵抗。電流が流れると i²r の電力が熱として失われます
τ_e: 磁場中の電流によって生じる逆トルク。開回路ではゼロになります

成り立たない場合: 電力を最大化する最適な負荷が r と等しくなるのは、回転数を一定に保った場合のみです。代わりに一定のトルクでローターを駆動すると、負荷が重くなるほど回転数が落ち、それに伴って電圧も下がってしまいます。そのため最適な負荷は r よりも大きくなります。定トルク駆動の設定では、3 Ω ではなく 48 Ω が最適となります。このページでは、その値を単純に仮定するのではなく、計算によって導き出しています。また現実のダイナモは、コイルのインダクタンスによって電流に制限がかかりますが、このモデルではその効果を省略しています。

何も接続しなければ、抵抗は生じない 🖖

開回路 を押してみてください。コイルは 3,000 rpm で回転し、最大 9.425 V の電圧を生じますが、逆トルクはゼロです。このモデルでは、電流が流れない限り回転に対する抵抗は一切生じません。次に 自転車のダイナモ を押して、12 Ω のランプを接続しましょう。電流が流れると、その電流は磁場の中に置かれることになります。すると磁場が電流に対して、常に回転を妨げる向きに力を及ぼすのです。これがレンツの法則が意味する抵抗力であり、平均で 0.009425 N·m となります。乗り手はこの力を自らの足で供給しなければなりません。駆動方式を 定トルク駆動 に切り替えると、この影響が回転数としてはっきりと現れます。無負荷時には 1,000 rad/s で回っていたローターが、負荷を接続すると約一秒の間に 250 rad/s まで減速し、時定数 0.25 s で一定値に落ち着きます。ライトをつけると自転車のペダルが重くなるのは、まさにこのためです。

光を放つすべての電力は、手から生まれる 🖖

電力のグラフは、逆トルクが吸収する機械的電力 τ_eω と、負荷およびコイルで発生する熱とを重ねて描画しています。回転数が一定であれば、この二つは平均としてだけでなく、どの瞬間においても完全に一致します。自転車のダイナモ の設定では、手から 2.961 W の電力が供給されます。そのうち 2.369 W がランプに届き、残りの 0.5922 W はコイルを温めることになります。この分配の割合を決めるのが負荷です。高負荷 を押してみてください。負荷が 0.5 Ω になると、手からは四倍以上となる 12.69 W もの電力を供給する必要があります。しかし、その大部分がコイルの発熱に奪われてしまうため、ランプに届くのは先ほどよりも少ない 1.813 W にとどまります。最も多くの電力を受け取れるのは、コイル自身の抵抗と等しい負荷をつないだときです。整合負荷 (R = r) の 3 Ω がそれにあたりますが、ここでも供給された電力のちょうど半分が無駄になってしまいます。これは内部抵抗のページで解説した結果であり、ここではクランクの動きを通して同じ結論にたどり着いたことになります。

回転数を二倍にすれば、電圧は二倍、電力は四倍になる 🖖

電圧はコイルを貫く磁束の変化速度から生まれます。式で表すと ε = N B A ω sin ωt となり、回転数に比例して大きくなります。回転数を二倍に を押してみましょう。回転数が 6,000 rpm になると、電圧の最大値は 9.425 V から 18.85 V へと上がります。電圧が二倍になれば、同じランプには二倍の電流が流れます。したがって消費電力は四倍に跳ね上がり、2.369 W だったものが 9.475 W になります。また、逆トルクも二倍になります。二倍のトルクに逆らいながら二倍の速さで回すということは、手から供給する電力も四倍の 11.84 W になるという計算です。発電機から多くのエネルギーを取り出すには、それだけ多くの労力が必要です。何もせずに得られるエネルギーは存在しません。

全プロセスの詳細解説

自転車のダイナモを回すための負担 5 ステップ
巻数 250、面積 4 cm² のコイルが、磁束密度 0.3 T の磁場中を 3,000 rpm で回転しています。コイルの抵抗は 3 Ω で、12 Ω のランプを点灯させます。このときの最大起電力、ランプへの平均供給電力、乗り手が供給する平均電力、そして平均逆トルクを求めましょう。自転車のダイナモ を押すと、それぞれの数値を確認できます。

この問題をツールで開く
1. 角速度と鎖交磁束の最大値：
  
  $ω = \frac{2 π \cdot 3000}{60} = 314.16 rad/s, N B A = 250 \cdot 0.3 \cdot 4 \times 1 0^{- 4} = 0.03 Wb$
2. 最大起電力は、鎖交磁束の最大値と角速度の積になります：
  
  $ε_{m a x} = N B A ω = 0.03 \cdot 314.16 = 9.425 V$
3. 起電力は正弦波として変化します。一回転における sin² の平均値は ½ なので、抵抗 R で消費される平均電力はピーク時の半分になります：
  
  $⟨ P_{R} ⟩ = \frac{ε _{m a x}^{2} R}{2 ( R + r ) ^{2}} = \frac{9 . 42 5 ^{2} \cdot 12}{2 \cdot 1 5 ^{2}} = 2.369 W$
4. 乗り手が供給すべき電力は、ランプとコイルが消費する分を合わせたものです：
  
  $⟨ P_{mech} ⟩ = \frac{ε _{m a x}^{2}}{2 ( R + r )} = \frac{9 . 42 5 ^{2}}{30} = 2.961 W$
5. 電力はトルクと角速度の積で表されるので、平均逆トルクは次のようになります：
  
  $⟨ τ_{e} ⟩ = \frac{⟨ P _{mech} ⟩}{ω} = \frac{2 . 961}{314 . 16} = 0.009425 N m$
解答

コイルは最大 9.425 V の電圧を発生させ、ランプには平均 2.369 W の電力が供給されます。乗り手は平均 0.009425 N·m の逆トルクに逆らって 2.961 W の電力を提供し、そのうちの 80% がランプの光に変わります。ランプを外すと、起電力はそのままですが、トルクと消費電力はどちらもゼロになります。

$ε_{m a x} = 9.425 V, ⟨ P_{R} ⟩ = 2.369 W, ⟨ τ_{e} ⟩ = 0.009425 N m$

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。