磁場中の荷電粒子

粒子、それを加速させた電圧、そして通過する磁場の強さを選んでください。このページでは、粒子が描く円軌道、相対論的効果を含めた一周の所要時間、そして同じ電圧と磁場が他の五つの粒子にどのような影響を与えるかを計算します。

計算例 — 磁場中の荷電粒子

静止エネルギー	938.272 MeV
電圧による運動エネルギー	10.00 keV
ローレンツ因子 γ	1.000011
速さ	1.384×10⁶ m/s
運動量	2.315×10⁻²¹ kg·m/s
円の半径	9.633 mm
相対論を無視した場合の一周の時間	43.73 ns
一周の時間	43.73 ns

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レッスン

理論 — 磁場中の荷電粒子

磁場 B の中を速度 v で運動する電荷 q は、ローレンツ力の磁気成分 F = q v × B を受けます。この力は速度と磁場の両方に対して直角に働き、両者が垂直なときの大きさは qvB となります。運動方向に対して常に直角に働く力は仕事をしないため、速さは決して変わらず方向のみが変化し、その経路は円になります。半径は r = p/(|q|B)（運動量を電荷と磁場の積で割ったもの）であり、一周の時間は T = 2πγm/(|q|B) となります。光速をはるかに下回る速さでは、γ は小数点以下かなり先まで 1 のままであり、一周の時間には速さがまったく含まれません。その逆数である qB/(2πm) は、サイクロトロン周波数と呼ばれます。

各記号の意味

q: 粒子の電荷（クーロン単位）。電気素量 e = 1.602176634×10⁻¹⁹ C の整数倍となります。その符号によって回転する方向が決まります
B: 磁場（テスラ単位）。粒子が移動するすべての場所で一定です
r: 円軌道の半径。速さやエネルギー単独ではなく、運動量によって決まります
T_0: 相対論を無視した場合の一周の時間、2πm/(|q|B)
γ: ローレンツ因子、1 + K/(mc²)。実際の周期は γT₀

前提: 磁場は一様かつ定常であり、粒子がそれに対して正確に垂直に運動することを前提とします。磁場と平行な方向の速度成分は影響を受けないため、その場合軌道は螺旋を描きます。また、粒子の減速を防ぐ真空空間を想定しています。さらに、円運動をする電荷は放射を起こしますが、ここでは放射しないものとして扱います。電子のプリセットにおいて一周で放射されるエネルギーは百万分の一電子ボルトにも満たないものですが、強い磁場中でギガ電子ボルトに達すると現実の損失となります。電子シンクロトロンがエネルギーを供給し続けなければならないのはこのためです。ウランイオンは一価の原子であり、その質量は原子質量から電子一つ分を引いたものとします。
成り立たない場合: 相対性理論は組み込まれているため、粒子が高速であってもこのページが破綻することはありません。破綻の原因となるのは磁石です。現実の磁場は端に向かうにつれて弱くなりますが、サイクロトロンではビームの焦点を保ちつつ共鳴状態に近づくよう磁場の形状を調整する必要があり、これこそが 1938 年の Rose の論文の主題でした。稼働中のサイクロトロンでは、隙間にある電場が半周ごとにエネルギーを加えるため、実際の経路は単一の円ではなく、半径が広がり続ける半円の螺旋となります。さらに、一本のビーム内にある多数のイオンは互いに反発し合ってビームを広げてしまいます。これは、William Parkins が記した戦時中のカルトロンに関する報告書のタイトルに挙げられるほどの大きな問題です。

二倍の速さ、二倍の大きさの円軌道、そして同じ 43.73 ns 🖖

まず陽子、10 kVを、続いて陽子、40 kVを押してください。エネルギーを4倍にすると、速さは2倍になり、軌道半径も9.633 mmから19.27 mmへと2倍になります。それでも一周にかかる時間は、どちらも43.73 nsです。速さvは式から消えます。半径はmv/(qB)、一周の時間は2πr/vなので、代入して残るのは2πm/(qB)。ここにvはありません。アーネスト・ローレンスとスタンレー・リヴィングストンが1932年に発表したサイクロトロンの論文は、この相殺を土台にしています。速い陽子でも半周に必要な時間は短くなりません。そのため、中空電極二枚の間のギャップに一定周波数の高周波電圧をかけておけば、外側へらせん状に進む陽子を、通過のたびに正しい位相で加速できます。二人は、印加電圧が最大でも4,000 Vの装置から1.22 MeVの陽子を得ました。三つの軌道を示すパネルでは、古典論による一周時間の4分の1ごとに、各軌道上の位置を点で示しています。このエネルギー範囲では、三つの円上の点はいずれも同じ四本の放射線上に並びます。

20 MeV の陽子は 2.132% 遅れて一周し、固定された周波数では追いつけない 🖖

正確な一周の時間は 2πγm/(qB) であり、γ はエネルギーとともに増大します。陽子、20 MV では γ = 1.021316 となるため、一周には 43.73 ns ではなく 44.66 ns かかります。しかし、それを駆動する高周波は依然として低速の陽子に同調しています。周回するごとに隙間に到達するタイミングが少しずつ遅れ、その遅れが蓄積して、ついには磁場が逆向きになったときに到達してしまいます。電子の場合、利用できる範囲は極めて狭くなります。20 kV に設定すると一周の時間はすでに 3.914% 延びており、電子、1 MV では γ = 2.956951 となり、一周の時間は低速時のほぼ三倍になります。二つ目のパネルでは四つの粒子について T ÷ T₀ を描画しています。運動エネルギーが静止エネルギーの数パーセント（電子なら数十 keV、陽子なら数十 MeV）に達すると、それぞれの曲線は上向きに曲がります。1938 年に M. E. Rose は、電極に 50 kV を印加し、磁場の形状を精密に調整することで、固定周波数サイクロトロンでも陽子を 13.9 MeV まで（より複雑な磁場を用いれば 14.9 MeV まで）加速できると計算しました。下にある例題では、この上限についてより大まかな見積もりを行い、なぜそれが電圧の平方根に比例してしか上昇しないのかを明らかにします。

ウラン238は 1.28% 重く、その円軌道はわずか 0.638% だけ広い 🖖

同じ電圧を通過する粒子はどれも電荷の単位あたりに等しいエネルギーを得ます。また、低速粒子の運動量は √(2mK) であるため、同じ電荷であれば半径は質量の平方根に比例します。ウラン235、35 kV は 1.2145 m の軌道を描きます。隣の表にあるように、235.0434 u に対して 238.0502 u のウラン238は、1.2223 m の軌道を描きます。質量が 1.28% 大きいことで、半径は 1.00638 倍の大きさになります。ビームを半周させて集電器へと曲げる装置では、二つの同位体は 15.5 mm 離れて到達します。これは半径の差の二倍にあたります。このような設定において磁石が与えられる分離の限界がこれであり、戦時中のカルトロンがウラン235を分離するために用いたのもこの手法です。

全プロセスの詳細解説

固定周波数のサイクロトロンは、陽子をどこまで加速できるか？ 6 ステップ
あるサイクロトロンは 1.5 T の磁石と半径 0.5 m の空洞電極を備えており、一周ごとに 100 keV のエネルギーを陽子に与えます。このとき、駆動すべき高周波の周波数、外縁に到達した陽子のエネルギー、そして固定周波数でそこまで到達できるかどうかを求めてください。陽子、10 kV を押して最初のステップを確認しましょう。

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1. 周波数は低速の陽子のサイクロトロン周波数であり、このページでは 10 kV の設定で以下のように表示されます:
  
  $f_{0} = \frac{q B}{2 π m} = \frac{1 . 602177 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 . 5}{2 π \times 1 . 672622 \times 1 0 ^{- 27}} = 22.87 MHz T_{0} = 43.73 ns$
2. 外縁での半径は 0.5 m であるため、運動量は qBR となります。これを pc として表すと、次のエネルギーになります:
  
  $p c = q B R c = 1.602177 \times 1 0^{- 19} \times 1.5 \times 0.5 \times 2.997925 \times 1 0^{8} J = 224.84 MeV$
3. 運動エネルギーは、全エネルギーから静止エネルギーを引いたものです。相対論を無視した場合の計算値は 26.94 MeV となり、1.4% 大きく見積もられます:
  
  $K = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2} - m c^{2} = 224.8 4^{2} + 938.2 7^{2} - 938.27 = 26.56 MeV \frac{( p c ) ^{2}}{2 m c ^{2}} = 26.94 MeV$
4. このエネルギーでは γ は 1.028312 となるため、外縁での一周は中心付近での一周よりも 2.83% 長くかかります:
  
  $γ = 1 + \frac{26 . 56}{938 . 27} = 1.028312 \Rightarrow T_{rim} = 1.028312 T_{0}$
5. 一周で 100 keV を得る場合、陽子が外縁に到達するには 266 周が必要です。k 周目には、一周の割合として γ − 1 = kΔE/mc² だけ遅れます。この遅れが蓄積し、外縁に到達する頃には高周波のまる 3.78 周期分に達します:
  
  $n = \frac{26 . 56}{0 . 1} \approx 266 k = 1 \sum n \frac{k Δ E}{m c ^{2}} = \frac{Δ E}{m c ^{2}} \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{0 . 1}{938 . 27} \times \frac{266 \times 267}{2} = 3.78$
6. 陽子が前方に加速されるのは、隙間にある電場が前方を向いている間、すなわち各周期の半分の間だけです。そのため、蓄積された遅れが半周期、つまり位相の π に達した時点でエネルギーの増加は止まります:
  
  $\frac{Δ E}{m c ^{2}} \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow n (n + 1) = \frac{938 . 27}{0 . 1} = 9383 \Rightarrow n = 97, K = 9.7 MeV \approx m c^{2} Δ E = 9.69 MeV$
解答

この磁石は 26.56 MeV の陽子を外縁に留めることができます。固定周波数では一周あたり 100 keV の加速でおよそ 9.7 MeV まで加速でき、そこで陽子の同期が外れます。一周あたりのエネルギーを四倍の 400 keV にしても、上限は二倍の 19.2 MeV にしかなりません。これは √(mc²·ΔE) に比例するからです。この見積もりは一周ごとに最大の 100 keV を得られると仮定した寛大なものです。整形された磁場を用いた 1938 年の Rose の計算では、電極に 50 kV を印加して 13.9 MeV に到達し、同じ平方根の法則を見出しています。さらに加速を進めた後発の装置では、陽子がエネルギーを得るにつれて周波数を下げることで、固定周波数が無視していた γ の影響を補っています。

$K_{m a x} \approx m c^{2} Δ E : Δ E = 100 keV \Rightarrow 9.7 MeV, Δ E = 400 keV \Rightarrow 19.2 MeV$

参考文献 (3)

The cyclotron paper, and claim 1 in its authors' words: because the radii are proportional to the velocities, the time for a half circle is independent of them. It reports 1.22 MeV protons from a tube with at most 4,000 V applied: E. O. Lawrence and M. S. Livingston, "The Production of High Speed Light Ions Without the Use of High Voltages." Physical Review 40(1), 1932, pp. 19-35. DOI 10.1103/PhysRev.40.19
Why a fixed-frequency cyclotron tops out: the field has to be shaped for focusing and for resonance at once, and with 50 kV on the dees the best fields give protons of 13.9 and 14.9 MeV, with maximum energies rising as the square root of the dee voltage: M. E. Rose, "Focusing and Maximum Energy of Ions in the Cyclotron." Physical Review 53(5), 1938, pp. 392-408. DOI 10.1103/PhysRev.53.392
Separating uranium-235 from uranium-238 with magnets during the Second World War, told by one of the physicists who did it, and the beam-spreading problem that dominated the work: W. E. Parkins, "The Uranium Bomb, the Calutron, and the Space-Charge Problem." Physics Today 58(5), 2005, pp. 45-51. DOI 10.1063/1.1995747

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