インダクタと遮断スパイク

コイルと電源、そしてスイッチがひとつ。まずはスイッチを閉じ、電流が立ち上がる過程をコマ送りで見てみましょう。続いて保護素子なし、ダイオードのみ、さらに抵抗を直列に加えた接続でスイッチを開き、電流の行き場とスイッチが耐えるべき電圧を確かめます。

計算例 — インダクタと遮断スパイク

長ソレノイド近似によるインダクタンス	0.1421 H
スイッチ投入時の定常電流	30.00 mA
時定数	355.3 µs
磁界の蓄積エネルギー	63.96 µJ
スイッチ両端のピーク電圧	360.2 V
スイッチ両端の最低電圧	-318.4 V
10分の1減衰までの時間	1.614 ms
巻線で消費される熱	64.03 µJ (100.11%)

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レッスン

理論 — インダクタと遮断スパイク

インダクタ（コイル）とは、自身を流れる電流の変化を磁界によって妨げようとする素子です。両端に現れる電圧は v = L di/dt で表されるため、一定の電流を流し続けるだけなら電圧は一切不要ですが、急激に変化させようとすると極めて大きな電圧が発生します。比例係数 L をインダクタンスと呼び、単位はヘンリー（H）です。比透磁率 μᵣ のコアに巻数 N、断面積 A、長さ ℓ の長いソレノイドを巻いた場合、インダクタンスは L = μ₀μᵣN²A/ℓ となります。電流 I が流れているとき、磁界には U = ½LI² のエネルギーが蓄積されます。電源電圧 V のもとで抵抗 R と直列につなぐと、電流は時定数 τ = L/R で定常値 V/R に向かって漸近します。

各記号の意味

L: インダクタンス（H）：電流が毎秒1 A変化するごとに必要となる電圧
N: 巻数。それぞれの巻きが磁界を作り、同時に自らその磁界と交差するため、L は N² に比例します
μᵣ: コアの比透磁率：空気では1であり、磁芯の挿入によって L が何倍に高まるかを示します
I₀: スイッチ投入時の定常電流（Vₛ/R）
R: 巻線自体の抵抗。あらゆるコイルに不可避に存在し、最終的にエネルギーを熱として消費します
Rₛ: ダイオードと直列に挿入する抵抗。クランプ電圧を押し上げ、電流の遮断を早めます
C: 開いたスイッチ両端の静電容量。トランジスタ固有の容量や配線間容量からなり、値が小さいほど跳ね返るスパイク電圧は高くなります
τ: 時定数（L/R）：スイッチ投入後に電流が立ち上がる時間スケールであり、ダイオード単体で還流させた際の減衰時間の目安にもなります

前提: コイルは無限長ソレノイドとして扱っています。内部の磁界を一様、外部をゼロと仮定しているため、初期値のように長さが直径の二倍程度しかないコイルでは L を実際より大きめに見積もることになります。コアの磁気飽和や渦電流損は考慮していません。開いたスイッチは端子間に容量を持つ理想的な絶縁体と見なしています。ピーク電圧に耐えられない実際のトランジスタなら絶縁破壊を起こし、機械接点ならアーク放電が生じます。またMOSFETのボディダイオードがあれば負側への電位の揺れ戻りは阻止されます。ダイオードを用いる二つの回路では、この容量を計算から除外しています。30 mA のとき 1 nF がクランプ電圧まで充電される時間は C × V ÷ I₀ によりダイオード単体で 0.425 µs、1 kΩ 直列で 1.425 µs にすぎず、数百マイクロ秒に及ぶ減衰時間と比べて無視できるためです。ダイオードはダイオードの解説ページと同じショックレーのモデル（25 °C）を用いました。10分の1への減衰とは、電流が I₀ の 10% 以下に落ち着くことを指し、電磁リレーで言えば吸引力が 1% に低下することに相当します。別電圧への巻き直しは、同じ巻線スペースに同体積の銅線を収める前提で計算しています。

スイッチを開いても、電流は止まらない 🖖

保護素子なしを押し、スイッチが開く瞬間までコマ送りしてください。直前まで流れていた30 mAは、たちまちには止まれません。v = L di/dt に従えば、時間を置かずに電流を断つには無限大の電圧がいるからです。行き場をなくした電流は、開いたスイッチの両端に残されたわずか1 nFの静電容量へと流れ込み、電流が尽きるまで端子電圧を押し上げます。その間にコンデンサが抱え込むエネルギーは64.89 µJ。磁界が持っていた63.96 µJに、接続されたままの電源が押し込んだ分を足し、途中で巻線が消費した熱を差し引いた値です。12 V電源にもかかわらず、ピーク電圧は実に360.2 Vに達します。次にスイッチ間容量100 pFを押してみてください。十分の一の容量が同等のエネルギーを受け止めるため、ピークは1,134 Vまで跳ね上がります。実際のスイッチが生き残れるかどうかは定格次第。耐圧の足りないトランジスタは破壊され、機械接点なら開いた隙間に火花が飛び散ります。

ダイオードはスイッチを守り、コイルの解放も早める 🖖

コイルに保護素子をつけず、仮にスイッチが破壊を免れたとしても、コイルが磁気を手放すまでには案外時間がかかります。開始から17.70 µsで電流が10分の1まで下がるのは、エネルギーが一時的に静電容量側へ移ったからにすぎず、すぐに逆方向へと押し寄せてきます。エネルギーは両者の間を往復運動し、巻線抵抗によって消費し尽くされるのを待ちます。しかも巻線が熱にできるのは電流がコイル側にある間だけですから、各周期の半分ほどしか消費が進みません。完全に減衰するまでに1.614 msも費やすのはそのためです。ここで還流ダイオードを押してみましょう。スイッチにかかる電圧は、電源電圧にダイオードの順方向降下ひとつ分を加えた12.74 Vで安全に留まります。電流はコイルとダイオードの間をぐるぐると巡り、674.7 µsで10分の1に減衰します。ダイオードに抵抗を直列に挟むと、別のトレードオフが生じます。ダイオード＋1 kΩを押すと、ピーク電圧は42.74 Vに上がる代わりに、減衰時間は219.8 µsへと大幅に短縮されます。表を見てもわかるとおり、抵抗値を大きくするほどクランプ電圧は高くなるものの、遮断までの時間は短くなります。

48 Vのコイルも、跳ね返りは12 Vと変わらない 🖖

同じボビンを12 Vではなく48 V用として設計すると、線の断面積は四分の一に細くなり、巻数は四倍必要になります。インダクタンスは巻数の2乗に比例します。そして線が四倍長く四倍細くなるため、巻線抵抗もまた巻数の2乗で増大します。その結果、時定数 L/R は355.3 µsのまま動きません。電流は四分の一に減るものの、磁界に蓄えられるエネルギーは同じ63.96 µJを保ち、可動鉄片を引く起磁力も150のまま変わりません。48 V仕様の同等コイルを押してみましょう。保護素子なしのピーク電圧は368.3 V。12 V仕様の360.2 Vとほとんど変わりません。跳ね返りの激しさを決めるのはコイルの幾何学的な大きさと消費電力であって、定格電圧の違いはほとんど無関係なのです。定格電圧の影響がはっきりと顔を出すのはダイオードを使ったときです。ダイオードの順方向降下0.74 Vは、48 Vの巻線に対してよりも、5 Vの巻線に対してはるかに強力なブレーキとして働きます。そのため、ダイオードによる解放時間は5 V巻きでは547.3 µsで済むのに対し、48 V巻きでは777.0 µsまで長くなります。

全プロセスの詳細解説

還流ダイオードに添える直列抵抗の選定 6 ステップ
耐圧60 Vのトランジスタで、このページの12 Vコイル（400 Ω、0.1421 H、ダイオード保護付き）を駆動します。 スイッチにかかる電圧を60 V未満に抑えるとき、ダイオードに直列に挿入できるE12系列（1.0、1.2、1.5、1.8 kΩなど）の最大抵抗値はいくらでしょうか？そのとき電流が10分の1に減衰する時間はダイオード単体と比べてどう変化し、遮断のたびに抵抗が引き受ける熱量はどれだけになるでしょうか？

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1. スイッチ投入時の定常電流は I₀ = 12 V ÷ 400 Ω = 30 mA であり、磁界の蓄積エネルギーは ½LI₀² = ½ × 0.1421 H × (30 mA)² = 63.96 µJ です。
  
  $I_{0} = \frac{12 V}{400 Ω} = 30 mA, \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = \frac{1}{2} \times 0.1421 H \times (30 mA)^{2} = 63.96 μ J$
2. スイッチが開いた瞬間も、コイルには依然として30 mAが流れており、ダイオードと Rₛ へ転流します。スイッチにかかる電圧は、電源電圧、30 mA通電時のダイオード降下、および抵抗の電圧降下の和となります：12 V + 0.738 V + 0.03 A × Rₛ。
  
  $v_{sw} = V_{S} + V_{D} (I_{0}) + I_{0} R_{s} = 12 V + 0.738 V + 0.03 A \times R_{s}$
3. これを60 V以下に保つには、Rₛ ≤ (60 − 12.738) V ÷ 0.03 A = 1,575 Ω でなければなりません。これを下回るE12系列の最大値は 1.5 kΩ で、このときの電圧は 57.74 V となります（1.8 kΩ では 66.74 V に達してしまいます）。
  
  $R_{s} \leq \frac{( 60 - 12 . 738 ) V}{0 . 03 A} = 1575 Ω \Rightarrow 1.5 kΩ : 57.74 V$
4. 電流は R + Rₛ = 1,900 Ω を通して減衰し、その時間スケールは L ÷ 1,900 Ω = 74.80 µs です。ダイオードの順方向降下を一定の 0.738 V と近似すると、電流は i = (I₀ + V_D/R′)e^(−t/τ′) − V_D/R′（ここで V_D/R′ = 0.3885 mA）に従います。電流が 3 mA に達する時刻は t = 74.80 µs × ln(30.39 ÷ 3.388) = 164.1 µs です。
  
  $τ^{'} = \frac{L}{R + R _{s}} = \frac{0 . 1421 H}{1900 Ω} = 74.80 μ s, t = τ^{'} ln \frac{30 . 39}{3 . 388} = 164.1 μ s$
5. ツール上でダイオード＋抵抗を選び、Rₛ = 1,500 Ω に設定してみましょう。ダイオードの実際の特性曲線を忠実に追うと 164.5 µs となります。ダイオード単体では 674.7 µs かかっていたため、抵抗を追加することで遮断は 4.10倍早くなります。
  
  $\frac{674 . 7 μ s}{164 . 5 μ s} = 4.10$
6. 磁界エネルギー 63.96 µJ のうち、抵抗は 49.29 µJ（77.07%）を吸収します。スイッチが開いた瞬間の消費電力は I₀²Rₛ = (30 mA)² × 1,500 Ω = 1.350 W に達しますが、数百マイクロ秒後にはほぼゼロへと消え去ります。
  
  $\int R_{s} i^{2} d t = 49.29 μ J (77 . 07%), I_{0}^{2} R_{s} = 1.350 W$
解答

抵抗値は1.5 kΩ。スイッチにかかる電圧は57.74 Vとなり、耐圧に対して2.26 Vの安全マージンを確保できます。電流が10分の1に減衰する時間は674.7 µsから164.5 µsへと短縮され、遮断ごとに抵抗が49.29 µJの熱を引き受けます。このシミュレーションは一度の遮断だけを追っていますが、リレーを毎秒10回動作させたとしても、抵抗の平均消費電力は 49.29 µJ × 10回/秒 = 0.4929 mW にすぎません。遮断の瞬間に生じる 1.350 W の熱は、ほんの数百マイクロ秒で完全に消え去るからです。

$R_{s} = 1.5 kΩ : 57.74 V, 164.5 μ s, 49.29 μ J; 10 Hz : 0.4929 mW$

学習の道すじ

抵抗器ではないもの

参考文献 (1)

v = L di/dt, the long-solenoid inductance, ½LI² and the RL time constant in the definition and the results table: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2. OpenStax. §14.2 "Self-Inductance and Inductors" (Equations 14.10 and 14.13), §14.3 "Energy in a Magnetic Field" (Equation 14.20) and §14.4 "RL Circuits" (Equations 14.24 and 14.25).

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。