オペアンプと負帰還

二つの抵抗で非反転増幅回路や反転増幅回路を組み、オペアンプの利得と帯域幅を有限に設定して、正弦波を入力してみましょう。周期内を少しずつ進むと、各節点の電圧を読み取れます。両入力のわずかな電圧差も見えてきます。

計算例 — オペアンプと負帰還

出力を帰還させる割合	0.100000
Aが無限大の場合の利得	10.0000
ループ利得	10,000
このAでの直流利得	9.9990
理想利得に対する相対誤差	0.0100%
Aを半分にした場合の利得	9.9980
帯域幅（−3 dB）	100,010 Hz
利得 × 帯域幅	1,000,000 Hz

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — オペアンプと負帰還

演算増幅器（オペアンプ）は、両入力の電圧差を非常に大きな開ループ利得Aで増幅します。関係式はV_out = A(V₊ − V₋)で、出力が電源電圧に達するまで成り立ちます。負帰還では、出力のうちβ = Rg/(Rg + Rf)の割合を反転入力に戻します。非反転増幅回路の利得はG = (1/β)/(1 + 1/(Aβ))となり、Aが大きくなるほど1 + Rf/Rgに近づきます。反転増幅回路なら−Rf/Rgに近づきます。積Aβをループ利得と呼びます。極が一つの場合、Aの周波数依存性はA(f) = A₀/(1 + j f A₀/GBW)で表されます。ここで利得帯域幅積GBWは、A₀と開ループの極周波数の積です。開ループ利得が1まで下がる周波数とほぼ一致します。

各記号の意味

A: オペアンプの開ループ利得。入力電圧差V₊ − V₋に掛かる倍率。直流での値をA₀とし、周波数が高くなると低下する
β: 帰還率Rg/(Rg + Rf)。出力電圧のうち、反転入力に戻す割合
Aβ: ループ利得。回路の理想利得に対する相対誤差は、厳密に1/(1 + Aβ)
GBW: 利得帯域幅積。単位はHz。A₀と開ループの極周波数の積で、開ループ利得が1まで下がる周波数にほぼ等しい

前提: 極は一つだけとします。スルーレートの制限、入力オフセット電圧、入力バイアス電流、追加の極は考慮しません。抵抗値は正確で、出力は電源電圧まで振れるものとします。クリップした波形は、クリップしない場合の定常波形を電源電圧で切り取ったものです。これは、条件が整えばオペアンプが瞬時に飽和から抜け出すという仮定ですが、実際のオペアンプには回復時間が必要です。入力端子を交換した場合も、出力は正負の電源電圧の間を瞬時に切り替わるものとして描いています。

オペアンプの利得を半分にしても、変わるのは有効数字の四桁目 🖖

最初の回路は10倍の増幅を狙ったものです。開ループ利得が100,000なら、実際の利得は9.9990。結果の表には、Aを半分にした場合の9.9980も表示されます。オペアンプ自身の利得が50%変わっても、回路の利得の変化は0.01%です。その理由は、理想値1 + Rf/Rgに対する相対誤差が、ちょうど1/(1 + Aβ)になることにあります。Aβ = 10,000なら誤差は0.01%。Aを半分にしても倍にしても、この小さな誤差が倍になるか半分になるだけです。回路の利得はほぼ二つの抵抗で決まり、オペアンプの利得にはほとんど左右されません。抵抗なら、許容差0.1%のものを購入できます。ハロルド・ブラックは1934年、電話の搬送波伝送システム用増幅器について、この考え方を示しました。陽極電源が240 Vから260 Vへ変化しても、彼の帰還増幅器の利得変動は0.01 dB以内に収まり、通常の増幅器では0.7 dB変動しました。その代わり、オペアンプの利得の大部分を使わずに済ませています。同じオペアンプで×1000を狙うと、Aβは100まで下がります。二つ目の表の最終行では、利得は990.10。理想値より丸々1%小さくなります。

1 Hzでも、仮想短絡には約100 µVの電圧差がある 🖖

負帰還をかけたオペアンプでは、両入力は同じ電圧になる、とよく説明されます。実際の電圧差のピーク値は|V_out| / |A(f)|です。周期内を進めると回路図にその値が表示され、最初の設定ではピーク時に100.49 µVあります。同じ回路を1 kHzでを押してみましょう。出力はほとんど変わらないのに、電圧差は9.999 mVと約100倍に広がります。V_out / AのAは、信号の周波数における開ループ利得です。直流利得100,000、利得帯域幅積1 MHzのオペアンプは、10 Hzですでに利得が3 dB下がり、1 kHzでは約1,000しか残っていません。周波数応答の図の破線が、この低下を示しています。次に出力を飽和させるを押します。必要な出力は19.998 Vですが、15 Vで頭打ちになります。出力が張り付くと、両入力の電圧差を縮められず、その差は0.5000 Vに達します。負帰還が両入力の電圧を近づけられるのは、出力が動ける間だけです。波形がクリップしている回路に仮想短絡を仮定すると、ボルト単位の誤りが生じます。

利得の絶対値は同じ1でも、フォロワの帯域幅は反転増幅回路の倍 🖖

20 kHzで×100を押してください。帯域幅は10,010 Hz、直流利得は99.9001です。両者の積は1,000,000 Hzとなり、表示の最終桁までオペアンプの利得帯域幅積に一致します。極が一つのモデルでは、どの非反転増幅回路でもこの関係が恒等的に成り立ちます。二つ目の表で四つの行の最後が同じ値なのは、そのためです。反転増幅回路では事情が変わります。利得−1の反転増幅回路の帯域幅は500,010 Hzですが、利得+1の電圧フォロワでは1,000,010 Hzです。オペアンプの帯域幅と引き換えになるのは1/β、つまり同じ二つの抵抗を使い、非反転入力端子に信号を入れた場合の利得です。利得−1の反転増幅回路では、これが2になります。反転増幅回路は、実際に得られる利得の絶対値に1を加えた分の利得に帯域幅を費やします。そのため非反転増幅回路に比べて、×−100では帯域幅を約1%、×−1では半分失います。

全プロセスの詳細解説

×100の前置増幅器で20 kHzまで増幅するには 6 ステップ
センサーの50 mVの出力を、20 kHzまでの周波数で5 Vに増幅したいとします。使えるオペアンプはA₀ = 100,000、利得帯域幅積1 MHzです。Rf = 99 kΩ、Rg = 1 kΩの×100非反転増幅回路を一段使えば足りるでしょうか。足りなければ、どうすればよいでしょう。

この問題をツールで開く
1. β = 1/(1 + 99) = 0.01なので、Aβ = 1,000。直流利得は100/(1 + 1/1,000) = 99.9001です。低周波では50 mVが4.9950 Vになり、5 Vに対して0.1%不足します。1/(1 + Aβ)から求めた誤差と一致します。
  
  $β = \frac{1}{1 + 99} = 0.01, A β = 1000, G_{0} = \frac{100}{1 + 1/1 000} = 99.9001$
2. オペアンプ単体の極周波数はGBW/A₀ = 10 Hzです。負帰還をかけると、極周波数は1 + Aβ = 1,001倍の10,010 Hzに上がります。これが回路の帯域幅で、99.9001 × 10,010 = 1,000,000 Hzとなります。
  
  $f_{p} = \frac{GBW}{A _{0}} = 10 Hz, f_{- 3 dB} = 10 \cdot 1001 = 10010 Hz, 99.9001 \cdot 10010 = 1000000$
3. 帯域幅の約2倍にあたる20 kHzでは、利得は99.9001/√(1 + (20,000/10,010)²) = 44.7124。出力のピーク値は2.2356 Vにしかなりません。必要な値の半分にも届きません。
  
  $∣ G (20 kHz) ∣ = \frac{99 . 9001}{1 + ( 20 000/10 010 ) ^{2}} = 44.7124, 0.05 \cdot 44.7124 = 2.2356 V$
4. 利得を二段に分け、×10の回路を縦続接続します。各段の抵抗はRf = 9 kΩ、Rg = 1 kΩです。それぞれAβ = 10,000、直流利得9.9990、帯域幅100,010 Hzとなり、帯域幅は×100の一段構成の10倍です。この回路に20 kHzを入力する設定にすると、ツールには利得9.8049と表示されます。
  
  $β = 0.1 : G_{0} = 9.9990, f_{- 3 dB} = 100010 Hz, ∣ G (20 kHz) ∣ = 9.8049$
5. 縦続接続では各段の利得を掛け合わせます。9.8049² ≈ 96.14なので、20 kHzで50 mVを入力すると、出力は4.8068 Vになります。
  
  $9.804 9^{2} \approx 96.14, 0.05 \cdot 96.14 = 4.8068 V$
6. 全体では100,010 Hzに極が二つ重なり、−3 dBとなる周波数は各段の帯域幅より低くなります。各段の振幅倍率の二乗が、低周波での値を√2で割った値まで下がる条件は1 + (f/100,010)² = √2。したがって、f = 100,010 · √(√2 − 1) = 64,366 Hzです。
  
  $1 + (f /100 010)^{2} = 2 \Rightarrow f = 100010 2 - 1 = 64366 Hz$
解答

20 kHzでの出力は、×100の一段構成なら2.2356 V、×10の二段構成なら4.8068 Vです。二段構成では目標の96%に達し、全体の利得が3 dB下がる周波数は64,366 Hzになります。各オペアンプには、それぞれ固有の利得帯域幅積があります。各×10回路の帯域幅は×100回路の10倍、二段全体でも6.4倍です。ツールで表示できるのは一段分なので、縦続接続した結果は表示値を使って計算します。最後の計算で確かめたように、同じ回路を二段つないでも、帯域幅は一段分と同じにはなりません。

$2.2356 V (one stage) vs 4.8068 V (two)$

学習の道すじ

抵抗器ではないもの

参考文献 (1)

The first insight's history, and the result the whole page rests on: with |μβ| ≫ 1 the output is −e/β, "independent of μ but does depend upon β". The 0.01 dB against 0.7 dB figures quoted in that block are Black's own: H. S. Black, "Stabilized Feedback Amplifiers." Bell System Technical Journal 13(1), January 1934, pp. 1–18. DOI 10.1002/j.1538-7305.1934.tb00652.x

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。