抵抗の直列と並列

電源電圧と二つか三つの抵抗値を設定し、それらを直列や並列にしたり、並列ペアの手前に一つをつないだりしてみてください。このページでは、合成抵抗や各分岐を流れる電流、そして電力が最終的にどこで消費されるかを計算します。

計算例 — 抵抗の直列と並列

合成抵抗	1,410.67 Ω
合成抵抗 ÷ その中の最小の抵抗値	2.666673
電源から流れ出る電流	0.1630 A
回路全体の消費電力	37.500 W
各分岐の消費電力の合計	37.500 W
全体電力に対するその割合	62.50%

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レッスン

理論 — 抵抗の直列と並列

二つの抵抗器において、同じ電流が順番に両方を通過しなければならない場合、それらは直列であると言います。また、それぞれに電源の全電圧がかかり、電流が二手に分かれる場合、それらは並列であると言います。直列の抵抗は足し算になります（R = R₁ + R₂ + R₃）。並列の抵抗は逆数で足し合わせます（1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃）。抵抗の逆数はコンダクタンスと呼ばれ、単位はジーメンスです。この言葉を使えば、二番目の法則は一番目と同じ形になります。つまり、並列回路のコンダクタンスは、直列回路の抵抗と全く同じように足し合わせることができるのです。

各記号の意味

R: 一つの部品の抵抗で、単位はオーム（Ω）です。R_eq は、電源の二つの端子から見た回路全体の合成抵抗を表します。
G: コンダクタンスで、抵抗の逆数（1/R）です。単位はジーメンス（S）です。並列に分岐が追加されたときに足し合わされるのはこの値です。
V: 電圧で、単位はボルト（V）です。並列の分岐には等しくかかり、直列の部品には抵抗 R に比例して分配されます。
I: 電流で、単位はアンペア（A）です。直列のすべての抵抗を同じ大きさが流れ、並列の分岐にはコンダクタンス G に比例して分配されます。
P: 電力で、単位はワット（W）です。VI であり、同時に I²R や V²/R でも表されます。どの式を使うかは、それぞれの分岐で共通している値がどれかによって決まります。

前提: 定常的な直流電流、抵抗のない理想的な導線、内部抵抗のない電源、そして温度などで変化しない一定の抵抗値を前提としています。電球の計算例は、この最後の前提に最も強く依存しています。タングステンフィラメントは、熱いときよりも冷たいときの方がはるかに電気を通しやすくなります。そのため、23 Wで動作している60 Wの電球は定格温度を大きく下回り、その抵抗値は上で使った 881.67 Ω よりも小さくなります。ぴったり 37.500 W という数字は、実験室での測定値というよりは教科書上の計算値です。ただし、どちらの電球が明るく光るかという結論は変わりません。どちらのフィラメントも冷えており、いずれにせよ60 Wの電球の方が大きな抵抗を保つからです。
成り立たない場合: 抵抗器以外のものには適用できません。ダイオードには合成できるような抵抗値はなく、電圧と電流の関係を示す曲線があるだけなので、これらの法則は全く通用しません。コンデンサは言葉を入れ替えた同じ形の法則に従います。つまり並列で足し合わせ、直列で逆数として足し合わせますが、これは単一の周波数の交流電流においてのみ成り立ち、そこからRLC共振の話が始まります。また、法則はその本来の領域でさえ限界を迎えることがあります。ホイートストンブリッジは五つの抵抗から成りますが、直列や並列の計算をいくら繰り返しても単純化できません。これこそが、キルヒホッフの節点方程式や閉路方程式が作られた理由です。ばねはこの法則の力学版と言えます。直列につなぐと並列の抵抗と全く同じように弱くなり、フックの法則が独自の単位を使ってそれを計算します。

直列につないだ二つの電球。60 Wの方が明るい理由 🖖

定格電力とは、一つの電球に230 Vの電圧がすべてかかったときに消費される電力のことです。ここから抵抗値を計算すると、100 Wの電球は 529 Ω、60 Wの電球は 881.67 Ω となります。つまり、本来暗い電球の方が抵抗は大きいのです。これらを直列につなぐと、両方に同じ電流が流れます。電力は I²R で表されるため、抵抗が大きい方がより多くの電力を消費します。14.062 W に対して 23.437 W となります。回路全体では 37.500 W の電力を消費します。ここで「同じ二つを並列に」を押してみてください。合計は 160.000 W となり、箱の表記通りの値に戻り、100 Wの電球の方がより多くの電力を消費するようになります。同じ二つの電球、同じ電源であっても、消費電力は 4.27 倍になるのです。

並列に分岐を追加すると、全体の抵抗は必ず下がる 🖖

並列の分岐は新しい電流の通り道であって、決して邪魔をするものではありません。そのため、全体の抵抗は下がる一方です。しかも、最も小さい分岐の抵抗値という、決して到達することのない下限に向かって下がっていきます。1 kΩ と並んだ 10 Ω の合成抵抗は 9.90 Ω になります。「合成抵抗 ÷ その中の最小の抵抗値」の行に注目してください。並列回路ではどんな値を入力してもこの行は 1 を下回り、この設定では 0.990099 と表示されます。2つ目のパネルは、この事実を図にしたものです。100 Ω と 200 Ω を入力して三番目の抵抗値を変化させてみてください。1 MΩ の分岐を追加すると、この割合は 0.666667 から 0.666622 へとわずかに動くだけですが、全く同じように直列回路で抵抗を変化させると、合計値は 300.10 Ω から 1,000,300.00 Ω へと跳ね上がります。

割合は入れ替わり、数値はそのまま残る 🖖

「10Ωと1kΩを並列に」を押してみてください。10 Ωの抵抗が電力の 99.01% を消費します。次に「その二つを直列に」を押すと、再び 99.01% という数字が現れますが、今度は 1 kΩ の抵抗がその割合を占めています。二つの抵抗器の場合、この数値は近似ではなく完全に一致します。直列回路では電流が共通で電力が I²R となるため、電力は R₂/(R₁+R₂) の比率で分割されます。並列回路では電圧が共通で電力が V²/R となるため、電力は G₁/(G₁+G₂) の比率で分割されます。後者を抵抗値を使って書き直すと、前者の式と全く同じになります。電球の場合も同様で、どちらのつなぎ方でも 62.50% となります。

全プロセスの詳細解説

一本の線につないだ三つの電球。最も定格が小さいものが勝つ 6 ステップ
定格がすべて230 Vの、100 W、60 W、40 Wの三つの電球を230 Vの電源に直列につなぎます。続きを読む前に、回路全体でどれだけの電力を消費するか、そしてどの電球が一番明るいかを計算してみてください。ツールで二つの電球のバージョンを見るには、「100Wと60Wを直列に」を押してください。

この問題をツールで開く
1. 定格とは、電球を単独で 230 V の電圧に繋いだときの約束事です。ですから、まずはこれをそれぞれ抵抗値に変換しましょう。529.00 Ω、881.67 Ω、そして 1,322.50 Ω になります。定格が最も小さい電球が、最も大きな抵抗器としてはたらきます。
  
  $P 100 W 60 W 40 W R = V^{2} / P 529.00 Ω 881.67 Ω 1, 322.50 Ω$
2. 直列回路の抵抗は単純に足し合わせるだけでよく、電球の他の性質は気にする必要がありません。三つを合計して 2,733.17 Ω です。
  
  $R_{eq} = 529.00 + 881.67 + 1, 322.50 = 2, 733.17 Ω$
3. 閉回路が一つなら、電流も一つ。どの電球にも同じ 0.084151 A の電流が流れます。
  
  $I = \frac{V}{R _{eq}} = \frac{230}{2 , 733 . 17} = 0.084151 A$
4. 各電球の電力は I²R なので、電力は抵抗値に比例して分配されます。それぞれ 3.746 W、6.244 W、9.365 W です。全体の 48.39% を、40 W の電球が消費しています。
  
  $R_{i} 529.00 Ω 881.67 Ω 1, 322.50 Ω P_{i} = I^{2} R_{i} 3.746 W 6.244 W 9.365 W P_{i} / \sum P 19 . 35% 32 . 26% 48 . 39%$
5. 三つの箱の表記を足すと 200 W になりますが、直列になったこの回路全体が実際に引き出すのは 19.355 W です。これは箱に印刷された値のわずか 9.68% にすぎません。直列回路に電球を一つ追加するたびに、すでに繋がっているものも含めて、回路全体の明るさが落ちていくのです。
  
  $\frac{19 . 355}{100 + 60 + 40} = \frac{19 . 355}{200} = 0.0968$
6. ここからは、式から抵抗を外してみましょう。直列回路の合計を求める式に R = V²/P を代入すると、両辺から電源電圧が消去されます。あとに残るのは、三つの定格だけから 19.355 W を導き出す式です：
  
  $(\frac{1}{P _{1}} + \frac{1}{P _{2}} + \frac{1}{P _{3}})^{- 1} = (\frac{1}{100} + \frac{1}{60} + \frac{1}{40})^{- 1} = 19.355 W$
解答

箱の表記の合計が200になる三つの電球からの消費電力は 19.355 W となり、その中で最も明るいのは 9.365 W を消費する40 Wの電球です。最後のステップで導いた式は、一般的な法則を示しています。直列につないだ電球の定格電力は、並列につないだ抵抗と全く同じように計算でき、その式には抵抗も電圧も残りません。これは逆数の法則を別の視点から見たものであり、n 個の同じ電球を直列につないだときに何が起こるかを教えてくれます。つまり、回路全体の消費電力は電球一つの定格の 1/n になり、それぞれの電球が消費する電力は本来の設計値の 1/n² になるのです。

$(\frac{1}{100} + \frac{1}{60} + \frac{1}{40})^{- 1} = 19.355 W$

学習の道すじ

オームの法則だけでは語れないこと

参考文献 (4)

The misconception this page is built against, measured on 145 students before and after instruction. Current being 'used up' along a circuit, and a second bulb in parallel changing the first, are both documented here: L. C. McDermott and P. S. Shaffer, "Research as a guide for curriculum development: An example from introductory electricity. Part I: Investigation of student understanding." American Journal of Physics 60(11), 1992, pp. 994-1003. DOI 10.1119/1.17003
The combination rules themselves, and the three forms of resistive power the branch table uses. The same edition is cited on Ohm's Law and RLC Resonance, deliberately: one circuits text across the chapter. J. W. Nilsson and S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.
Where the lesson's `breaks` points next. A Wheatstone bridge cannot be reduced by series and parallel combination at all, and these are the equations written for the circuits that cannot: G. Kirchhoff, "Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige." Annalen der Physik 140(4), 1845, pp. 497-514. DOI 10.1002/andp.18451400402
The temperature dependence the lesson's `assumes` turns on, tabulated element by element. Tungsten is the entry behind the warning that a filament running below its rating is not the resistor its rating describes: P. D. Desai, T. K. Chu, H. M. James and C. Y. Ho, "Electrical Resistivity of Selected Elements." Journal of Physical and Chemical Reference Data 13(4), 1984, pp. 1069-1096. DOI 10.1063/1.555723

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