導線の抵抗と抵抗率

材質、長さ、太さ、そして温度を選んでください。指定した電流を流した際の導線の抵抗、それに伴う電圧降下と発熱量、さらに同じ条件を他の六種類の金属で満たした場合の重量を計算します。

計算例 — 導線の抵抗と抵抗率

断面積	1.5001 mm²
この温度での抵抗率	1.68 × 10⁻⁸ Ω·m
導線全体の抵抗	2.2399 Ω
1メートルあたりの抵抗	1.12 × 10⁻² Ω/m
導線での電圧降下	19.478 V
導線内部での発熱量	169.4 W
抵抗 ÷ 20 °Cでの抵抗値	1.0000
導線の質量	2.688 kg

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レッスン

理論 — 導線の抵抗と抵抗率

導線の抵抗はR = ρL/Aで表されます。これは材質の抵抗率 ρに長さを掛け、断面積で割ったものです。抵抗率はオームメートルで測定され、物質そのものに固有の性質です。髪の毛のような細い線でも太いバスバーでも、銅の抵抗率は1.68 × 10⁻⁸ Ω·mであり、導線の形状に関する情報はすべてLとAに含まれます。断面積は直径の二乗に比例するA = πd²/4で計算されるため、太さの影響は二重に効いてきます。抵抗率自体は温度とともに変化します。このページでは一次の近似式であるρ(T) = ρ₂₀(1 + α(T − 20))を用いています。

各記号の意味

ρ: 抵抗率（オームメートル）。材質のみに依存する性質であり、導線の形状には関係しません
L: 導線の長さ（メートル）。ケーブルの場合は往復の長さを意味します。この点は後述の例題で扱います
A: 断面積（m²）。円形導線ではπd²/4となるため、直径を二倍にすると抵抗は四分の一になります
α: 温度係数（毎ケルビン）。純金属では約0.004ですが、抵抗合金ではその十分の一程度になります
R: その特定の電線の抵抗値（オーム単位）。ここで扱う量の中で、これだけが他のすべての値に依存して決まります

前提: 直流電流であること。導線は単一の材質からなり、全長にわたって均一な円形の断面積を持つこと。そして抵抗率が20 °Cの値を通り直線的に変化することを前提としています。ここでの数値は純粋な焼鈍金属のものです。市販のケーブルは合金化や加工硬化が施されており、数パーセント高い値を示します。また、ニクロムは単一の組成ではなく合金の総称であるため、1.10 × 10⁻⁶ Ω·mという値は範囲の中央値として扱ってください。質量の列は導線のみを対象としており、絶縁体、鋼芯、あるいはたるみによる重量は含まれていません。
成り立たない場合: 20 °Cから大きく離れた温度では、上記の直線近似は限界を迎えます。このモデルを2,800 °Cの電球のフィラメントに外挿すると室温の13.5倍の抵抗値になりますが、タングステンの実際の値はそれより大きくなります。直列回路と並列回路の抵抗のページで、フィラメントは高温時よりも低温時のほうが電気を通しやすいと説明しつつ具体的な数値を出さないのはまさにそのためです。また、この前提は他にも四つの状況で破綻します。交流電流は電荷を表面に押しやるため、太い導線では中心部分が使われなくなり、実効断面積はπd²/4より小さくなります。半導体や炭素は温度係数が逆になり、温まるほど電気を通しやすくなります。超伝導体はρを完全にゼロにするため、R = ρL/Aの式は意味を失います。さらに、実際の導線の両端には接触抵抗が存在します。これは金属ではなく接続部に特有のものであり、緩んだ接続部を焼き切る本当の原因です。

ここにある金属の中で、銅より軽いのは一つだけです 🖖

導体としての性能はアルミニウムの方が劣り、その抵抗率は銅の1.577倍です。そのため、銅のケーブルと同じ性能を得るには、57.7%大きな断面積と25.6%太い線材が必要になります。では、重さを比較してみましょう。アルミニウムの密度は銅の3.32分の1であり、1.577 ÷ 3.32 は 0.475 となります。同じ抵抗、同じ長さを保ったまま、重さを47.5%に抑えられるのです。下の表の最後の列で、1未満の数字を探してみてください。一つだけあります。銀は銅よりも電気をよく通しますが、結果的に重くなります。金、タングステン、鉄、ニクロムについても同様です。皆さんがこれまで車で下を通り過ぎてきた架空電線がすべてアルミニウム製であること。そして重さを支える必要のない屋内で銅が使われていること。その理由は、まさにこの一つの比率にあるのです。

電圧を十倍にすると発熱は百分の一に 🖖

架空送電線を押してください。断面積400 mm²、長さ100 kmのアルミニウムで、抵抗は6.6248 Ωです。これを使って100 MWの電力を送ります。電流は電力を電圧で割ったものであり、損失はI²Rです。したがって、損失は電圧の二乗に反比例して減少します。400 kVで送電すると、流れる電流は250 Aになり損失は0.414 MWになります。これは送電量の0.414%です。40 kVで送電すると電流は2,500 Aになり、41.4 MWが失われます。10 kVでは、100 MWを届けるために計算上662.5 MWを要求することになります。これは事実上、この電線ではその役割を果たせないということを示しています。この間、電線には一切手を加えていません。変わったのは変電所の数字だけです。

ニクロムは熱を意に介さず、銅は影響を受ける 🖖

100 mの延長コードを押してから、高温になった延長コードを押してください。温度だけが変化し、抵抗が2.2399 Ωから2.9639 Ωに上がります。それに伴って無駄になる熱も169.4 Wから224.1 Wに増えます。0 °Cから100 °Cの間に、銅の抵抗は44.0%増加します。同じ百度の間でニクロムの抵抗増加は4.0%です。十一倍も平坦なこの性質こそが、この合金が存在する理由です。電熱線は高温で赤熱しても、設計通りの電流を引き込み続ける必要があるからです。二番目のパネルでは七種類の金属を並べ、それぞれの20 °Cの値を基準にしています。これで残る比較の対象はグラフの傾きだけになります。

全プロセスの詳細解説

100メートルのコードの先にある2 kWのヒーター 6 ステップ
断面積1.5 mm²の銅線を使った100 mの延長コードに2 kWのヒーターをつなぎ、230 Vの電源に接続します。 続きを読む前に、2 kWのうち実際にどれだけがヒーターに届くかを計算してみてください。100 mの延長コードを押すと、ツールの前半部分の計算結果が表示されます。

この問題をツールで開く
1. ラベルには1.5 mm²とありますが、これは一本の導線の断面積です。直径に換算すると1.382 mmとなり、ツールが表示する断面積は1.5001 mm²になります。
  
  $A = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{π \cdot 1 . 38 2 ^{2}}{4} = 1.5001 m m^{2} = 1.5001 \times 1 0^{- 6} m^{2}$
2. ここが、ほぼすべての人が見落とす段階です。100 mのコードは電流を100 m送って100 m戻すため、導線の実際の長さは200 mになります。
  
  $L = 2 \times 100 = 200 m$
3. ここでρL/Aを計算します。銅の抵抗率を1.68 × 10⁻⁸ Ω·mとすると2.2399 Ωになります。
  
  $R = \frac{ρ L}{A} = \frac{1 . 68 \times 1 0 ^{- 8} \cdot 200}{1 . 5001 \times 1 0 ^{- 6}} = 2.2399 Ω$
4. ヒーターの定格から導かれる電流である8.696 Aを適用します。この電流はコード上で19.478 Vの電圧降下を引き起こし、169.4 Wの電力をコード内に残します。この二つがツールに表示される数値です。
  
  $I = \frac{2000}{230} = 8.696 A \Rightarrow V = 19.478 V, P = I^{2} R = 169.4 W$
5. しかしその電流値は間違っています。理由は前回の授業で学びました。コードとヒーターは直列に接続されているため、電源は両方の抵抗を足したものを相手にするからです。230 Vで2 kWのヒーターの抵抗は26.45 Ωであり、合計すると28.6899 Ωになります。したがって実際の電流は8.0168 Aです。
  
  $R_{load} = \frac{23 0 ^{2}}{2000} R_{load} + R_{lead} I = \frac{230}{28 . 6899} 26.45 Ω 28.6899 Ω 8.0168 A$
6. 実際に流れる電流で先ほどの二つの数値を計算し直します。ヒーターにかかる電圧は212.04 Vになり、1,699.9 Wを出力します。一方、コードは144.0 Wを消費します。
  
  $V_{load} = I R_{load} P_{load} = I^{2} R_{load} P_{lead} = I^{2} R_{lead} 212.04 V 1, 699.9 W 144.0 W$
解答

ヒーターは2,000 Wのうち1,699.9 Wしか出力しないため、残りの300.1 Wの熱は単に発生しません。この不足分のうちケーブルを温めているのは144.0 Wだけです。残りの156.1 Wはそもそも電源から引き出されていません。ヒーターも抵抗の一種であり、212 Vの電圧では230 Vのときよりも少ない電流しか流れないからです。これが単純な計算が安全側に間違える部分です。電流を過大に見積もるため、コードでの損失も18%大きく計算されます。しかし計算が過小評価している本当の危険は別のところにあります。逃げ場のない144 Wの熱が、巻かれたままのコードリールの中にこもることです。

$\frac{1 , 699 . 9}{2 , 000} = 0.84992, 000 - 1, 699.9 = 300.1 W$

学習の道すじ

オームの法則だけでは語れないこと

参考文献 (3)

Where the resistivity of an element and its temperature dependence are tabulated. This is the source for the SHAPE of what this page computes; the figures it prints are the standard handbook set, and the note below says so: P. D. Desai, T. K. Chu, H. M. James and C. Y. Ho, "Electrical Resistivity of Selected Elements." Journal of Physical and Chemical Reference Data 13(4), 1984, pp. 1069-1096. DOI 10.1063/1.555723
The combination rules and the three forms of resistive power the last two steps of the worked problem use. Cited on Ohm's Law and on Resistors in Series and Parallel as well, deliberately: one circuits text across the chapter. J. W. Nilsson and S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.
Insight block 1 as a live engineering decision rather than a physics exercise. Modern overhead lines trade the same two properties this page divides against each other, and the paper costs out the result on ultra-high-voltage spans: Y. Zhang, H. Sun, X. Zhang, Z. Chen, L. Zhou and X. Huang, "Economic analysis of aluminium conductor composite core and conventional aluminium conductor steel reinforced conductors in overhead ultra-high voltage transmission lines." IET Generation, Transmission & Distribution 17(5), 2023, pp. 1098-1110. DOI 10.1049/gtd2.12719

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。