交流電圧：実効値、ピーク値、そしてテスターの指示値

波形とピーク電圧、そして負荷を選んでみましょう。このページでは、実効値、実際に供給される電力、そして平均値型マルチメーターがどのような値を示すのかを計算します。三つの波形のうち二つにおいて、この指示値は実際の値と一致しません。

計算例 — 交流電圧：実効値、ピーク値、そしてテスターの指示値

ピーク電圧	325.2691 V
実効値電圧	230.0000 V
整流波形の平均値	207.0727 V
波高率（ピーク ÷ 実効値）	1.41421
波形率（実効値 ÷ 平均値）	1.11072
負荷への供給電力	529.000 W
平均値型テスターの指示値	230.0000 V
指示値の誤差	0.0000%

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 交流電圧：実効値、ピーク値、そしてテスターの指示値

交流電圧において、単純な平均値は役に立ちません。一周期全体で見ると、対称な波形は正と負の時間が等しくなり、平均はゼロになってしまうからです。ここで有用になるのが実効値（RMS）です。これは二乗平均平方根を意味します。二乗することで符号が消え、電力は電圧の二乗に比例するからです。P = V²ᵣₘₛ/R となるため、実効値は同じ抵抗を同じように加熱する直流電圧と完全に一致します。だからこそ、この数字をラベルに表記する価値があるのです。このページでは、その定義を既知のものとして扱います。Wasteland Signalでは基本原理からそれを導き出し、位相も周波数も関係しないことを示しています。代わりにここで扱うのは、そこから導かれる要素です。ピーク値を実効値で割った波高率、そして実効値を整流平均値で割った波形率です。計器にとって必要なのはこの波形率ですが、たいていの場合、計器はそれを当てずっぽうに設定しているのです。

各記号の意味

V_pk: ピーク電圧（ボルト）。絶縁体、スイッチ、トランジスタが耐えなければならない値
V_rms: 実効値（ボルト）。同じ抵抗を同じように加熱する直流電圧であり、ラベルに表記される値
|v|: 整流波形。計器が掛け算を行う前に、平均値型テスターが実際に測定する単純な平均値
crest: ピーク ÷ 実効値。正弦波では 1.41421、矩形波では 1、三角波では 1.73205
form: 実効値 ÷ 平均値。正弦波では 1.110721 であり、安価なテスターがあらゆる波形に適用してしまう数値

前提: ここでは、直流オフセットのない対称な波形、純粋な抵抗負荷、そして理想的な平均値型テスターを前提としています。完全に整流でき、帯域幅が無限大のテスターです。しかし現実のテスターはそのどちらも備えていません。整流器のダイオードはゼロ付近で理想的に動作しませんし、帯域幅も通常は数キロヘルツ程度です。したがって、ここで挙げた誤差は、それ以外の点で計器が完璧であったとしても残ってしまう誤差を意味します。三つの波形もまた理想的なものです。実際のインバーターの出力は綺麗な矩形波ではなく、ゼロ交差付近に隙間のある修正矩形波であり、その波形率はさらに異なるものになります。
成り立たない場合: 抵抗以外のあらゆる負荷において、この前提は崩れます。誘導性負荷や容量性負荷における電力は V²ᵣₘₛ/R ではなく、VᵣₘₛIᵣₘₛ でさえありません。電流と電圧がピークに達するタイミングがずれるためです。実際の電力とこれら二つの積との比率が力率ですが、このページでは全くモデル化していません。直流オフセットがある場合も成り立ちません。直流レベルに乗った波形の実効値は、二つの要素それぞれの二乗の和の平方根となります。半波整流の電源が上記のどれにも当てはまらないのはこのためです。また、計算上は問題なくても測定値がおかしくなる場合もあります。真の実効値（True RMS）テスターには波高率の限界があり、通常は 3 程度です。それ以上鋭い波形になると、表示される数字がおかしくなるずっと前に、入力が過負荷になってしまうのです。

お使いのテスターは 1.110721 を掛けて祈るだけ 🖖

平均値型マルチメーターは、安価な製品のほとんどがそうですが、実は実効値を全く測定していません。波形を整流してその単純な平均を測り、そこに1.110721を掛けているだけです。これは正弦波における整流平均値に対する実効値の比率です。正弦波を測れば、見事に正確な値が出ます。しかし、安価なインバーターを押してみてください。本当は 325.2691 なのに、361.2831 Vと表示されます。11.0721% も高い値です。同じピークの三角波を押せば、今度は3.8088% 低い値になります。この誤差はノイズではなく、平均しても消えません。波形の形によって決まる固定の性質であり、計器側には入力された波形を見分ける術がないからです。高価なテスターに刻まれた真の実効値（True RMS）という言葉には、まさにその違いにこそお金を払う価値があるのです。

同じピーク電圧で三倍の電力 🖖

最初の三つのプリセットを順番に押してみてください。ピーク電圧はどれも 325.2691 V ですが、同じ 100 Ω に供給される電力は 529.000 W、1,058.000 W、そして 352.667 W となります。同じ高さであっても、矩形波は三角波のちょうど 3 倍になります。発熱において波形の高さは重要ではありません。重要なのは波形の二乗の平均値です。矩形波は常に最大の高さを維持するのに対し、三角波がそこに留まる時間はほぼ皆無だからです。ピーク値を絶縁の設計基準にしたり、ヒーターの設計基準にしたりするのが間違っている理由もここにあります。これらは別の問いであり、答えもそれぞれ異なるのです。

コンセントの表示は 230、コンデンサにかかるのは 325 🖖

どちらの数字も本物ですが、読み手が異なります。ケトルを加熱するのは 230 V です。一方、絶縁体やスイッチの接点、半導体が耐えなければならないのは 325.2691 V であり、一秒間に五十回、一周期に二回もこの電圧にさらされます。この差が最も重要になるのはコンデンサが関わる場合です。コンデンサはピークに向かって充電され、そのまま維持されるからです。12 V と表記された変圧器は、負荷が接続される前に平滑コンデンサへ 16.9706 V を送り込みます。下にある演習問題は、表示通りに部品を選んだのに故障してしまうという事例ですが、その原因はまさにここにあるのです。

全プロセスの詳細解説

12 V の変圧器につないだ 16 V のコンデンサが故障する理由 6 ステップ
工作で DC 12 V が必要になったとします。そこで AC 12 V と表記された変圧器を買い、ブリッジで整流し、定格 16 V のコンデンサで平滑化します。作業台の上では動いていたのに、現場では故障してしまいます。続きを読む前に、なぜそうなるのか考えてみてください。ツール上の12 Vの変圧器を押して、最初のステップを確認しましょう。

この問題をツールで開く
1. ラベルの数字は実効値です。あらゆる交流のラベルがそうであるように。ピーク値はその √2 倍になります。
  
  $V_{m a x} = 2 V_{rms} = 1.41421 \cdot 12 = 16.9706 V$
2. 平滑コンデンサはピークに向かって充電され、その付近に留まります。したがってコンデンサにかかるのは 12 ではなく 16.9706 V です。
  
  $V_{C} \to V_{m a x} = 16.9706 V$
3. ブリッジ整流器を経由する際、ダイオード二つ分の電圧降下が生じます。それぞれ約 0.7 V です。
  
  $2 \times 0.7 = 1.4 V$
4. 無負荷の状態では、コンデンサは 15.571 V になります。これは定格の 16 V を下回っていますが、その差は 2.68% であり、この設計に残された余裕はたったそれだけです。
  
  $16.9706 - 1.4 = 15.571 V \frac{15 . 571}{16} = 0.9732$
5. ここからが、現場でしか現れない問題です。商用電源には許容誤差が定められており、通常は +10% です。変圧器の出力もそれに追従するため、12 ではなく 13.2 V の実効値になります。
  
  $12 \times 1.10 = 13.2 V$
6. 同じ三つのステップを 13.2 V で再計算してみてください。何も異常のない普通の日に、コンデンサは定格を超えてしまいます。
  
  $2 \cdot 13.2 - 1.4 \div 16 18.6676 V 17.268 V 1.0792$
解答

ごく普通に電源電圧が高めの日、16 V のコンデンサに 17.268 V がかかります。定格を 7.9% も超えているのです。設計の計算自体は何も間違っていません。ピーク値が 41.4% も高い波形の発熱等価値を示しているラベルを、部品にかかる実際の電圧だと解釈してしまったのが誤りでした。ここから得られる実用的なルールは、電源の許容誤差の最大値からピーク電圧を算出し、さらにその上の余裕を見込んでコンデンサを選ぶということです。12 V の電源ラインの平滑化に 16 V の部品が使われることは決してなく、たいてい 25 V の部品が使われるのはこのためです。

$\frac{17 . 268}{16} = 1.0792 \Rightarrow + 7 . 9%$

学習の道すじ

オームの法則だけでは語れないこと

参考文献 (2)

Insight 1 is about a measurement error, and the metrology literature treats the square wave as the standard case for exactly that reason — it is the waveform a true-RMS instrument is checked against: P. M. Tzvetkov and K. S. Galabov, "True RMS voltmeter calibration by reference square waveform signal and algorithm for measurement and processing of results." 2021 XXXI International Scientific Symposium Metrology and Metrology Assurance (MMA), 2021, pp. 1-4. DOI 10.1109/mma52675.2021.9610853
The derivation this page deliberately does not repeat lives on another tool in this repo rather than in a citation, and is worth naming as a source in its own right: Wasteland Signal works RMS out from the amplitudes and shows that phase and frequency never enter. The RMS definition, its cross-product argument and the independence from phase: see /tidal/wasteland-signal on this site, whose worked problem derives the whole of it.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。