平均値 vs 中央値ラボ

所得が σ = 1.5 の対数正規分布に従うとする。平均未満の所得を得ている人の割合を求めよ。次に、σ は一切必要なく、公表されている平均値と中央値だけで十分であることを示せ。

1. 対数正規分布とは、対数をとった値が正規分布に従うということである。すなわち ln X は N(μ, σ²) である。以下に示す議論はすべて ln X についての主張を元の尺度に翻訳し直したものであり、本問における解法上の工夫はそれだけである。

   $$\ln X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$$

2. 中央値は容易に求まる。ln X の半数は μ 未満に位置し、対数関数は順序を保存するため、X の半数は e^μ 未満となる。したがって中央値は e^μ である。

   $$\text{median}=e^{\mu },\text{mean}=e^{\mu +{\sigma }^2/2}$$

3. 平均値は e^μ ではなく、この乖離こそが本主題のすべてである。対数正規分布の平均値は e^(μ + σ²/2) であり、平均値は中央値を e^(σ²/2) 倍上回る。σ = 1.5 のとき、この倍率は e^1.125 = 3.0802 となる。

   $$\frac{\text{mean}}{\text{median}}=e^{{\sigma }^2/2}=e^{1.125}=3.0802$$

4. 次に割合について考える。平均未満の所得を得ている割合を求めることは P(X < e^(μ + σ²/2)) を求めることであり、両辺の対数をとると P(ln X < μ + σ²/2) となる。これは正規分布に関する標準的な問いであり、答えも同様に導かれる。

   $$P\left(X<e^{\mu +{\sigma }^2/2}\right)=P\left(\ln X<\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}\right)$$

5. これを標準化する。μ を引き σ で割ると、μ は消去される。答えは Φ(σ/2) であり、σ = 1.5 では Φ(0.75) = 0.7734 となる。77.34% が平均未満の所得を得ている。

   $$=\Phi \left(\frac{\mu +{\sigma }^2/2-\mu }{\sigma }\right)=\Phi \left(\frac{\sigma }{2}\right)=\Phi (0.75)=0.7734$$

6. μが消えるため、尺度には依存しない。中央値が1でも148でも22,026でも、母集団についてパネルに表示される割合は同じ77.3%になる。逆向きにたどると、σ = √(2 ln(mean/median))。したがって、平均値と中央値の比だけからσが求まり、σから割合が決まる。

   $$\sigma =\sqrt{2\ln \left(\frac{\text{mean}}{\text{median}}\right)}\Rightarrow \text{share}=\Phi \left(\frac{\sigma }{2}\right)$$

5世帯の村で、所得が10、20、30、40、5,000と報告されている。平均値と中央値の両方を求めよ。次に、5つの数値のうち1つが入力ミスだったと仮定し、それでも確かに言えることは何かを考えよ。

1. 平均値は合計を均等に分けたものである。5世帯の合計5,100を5で割ると1,020になる。先に進む前に、この数字が何を意味しているか確認しておこう。平均値は、それを算出するもとになった5つの数のうち4つよりも大きい。

   $$\bar{x}=\frac{10+20+30+40+5000}{5}=\frac{5100}{5}=1020$$

2. 中央値は合計ではなく位置で決まる。5つの値を小さい順に並べて3番目をとると、30になる。同じデータに対して、平均値より下にある世帯は4つ、中央値より下にある世帯は2つである。

   $$x_{(1)},\dots ,x_{(5)}=10,20,30,40,5000⟹\mathrm{med}=x_{(3)}=30$$

3. Mean / Median ratio カードの値は34.00を示している。対称なデータであればこの値は1になるから、34という読みは、二つの要約量がもはや同じ村を描写していないことをこのページが告げているのである。

   $$\frac{\bar{x}}{\mathrm{med}}=\frac{1020}{30}=34.00$$

4. 5番目の値をドラッグして平均値を観察せよ。加えた1単位ごとに5分の1ずつ動き、それを止めるものは何もない。スライダーの一端からもう一端まで動かすと、平均値は22から1,020まで変化する。

   $$\frac{\partial \bar{x}}{\partial x_5}=\frac{1}{5}=0.2⟹x_5:10\to 5000\Rightarrow \bar{x}:22\to 1020$$

5. 同じドラッグ操作で中央値がとる値は20と30の二つだけであり、その理由は並べ替えにある。20より小さい値なら20が3番目に残り、30より大きい値なら30がそこに残り、その間なら5番目の値自体が中央値になる。その世帯の所得が5,000であろうと500万であろうと、中央値は幅10の窓に閉じ込められている。

   $$x_5\le 20\Rightarrow \mathrm{med}=20;20\le x_5\le 30\Rightarrow \mathrm{med}=x_5;x_5\ge 30\Rightarrow \mathrm{med}=30$$

6. 次に、この問いのより難しい版を考える。5つの数値のうち1つが誤りだがどれかは分からない。5通りの場合をすべて検討すると、真の値が何であれ、修正後の中央値は20から40の間に収まるはずである。修正後の平均値はいかなる値にもなりうる。

   $$\mathrm{med}\in [20,40],\bar{x}\in (-\infty ,\infty )$$