01
充電 — 時定数 1 つで道のりの 63 %
わかっていること: コンデンサは空から始まり、電源電圧へ向かって満ちていきます。V(t) = V₀(1 − e^(−t/τ)) で V₀ に近づきますが、完全には届きません。
応答: V = V₀(1 − e−t/τ)
計算例: R = 10 kΩ、C = 100 µF → τ = 1 s。5 V から、τ 1 つで 3.161 V、3 つで 4.751 V、5 つで 4.966 V。
このケースを開く: 充電中
RC 回路 — どちら向きか、そして時定数はどれだけか
あなたはどの RC のケースにいますか？
答えを決めるのは二つだけです。まず向き。充電は電源電圧へ向かって V₀(1 − e^(−t/τ)) で上がり、放電はそこから離れて V₀e^(−t/τ) で下がります。次に時定数 τ = RC、この回路にある唯一の時計です。R や C を変えても形はまったく変わりません。変わるのは同じ曲線をどれだけ速くたどるかだけです。
充電 — 時定数 1 つで道のりの 63 %
V = V₀(1 − e−t/τ)
放電 — 同じ曲線を上下ひっくり返したもの
V = V₀e−t/τ
小さな τ — 同じ形を、ミリ秒でたどる
τ = RC = 10 ms
大きな τ — またも同じ形、今度は分の単位で
τ = RC = 100 s
02
放電 — 同じ曲線を上下ひっくり返したもの
わかっていること: コンデンサは充電された状態から始まり、抵抗を通して空になります。V(t) = V₀e^(−t/τ)。τ は満ちるときと同じです。
応答: V = V₀e−t/τ
計算例: 同じ R と C で 5 V から、τ 1 つで 1.839 V、3 つで 0.249 V、5 つで 0.034 V。
このケースを開く: 放電中
03
小さな τ — 同じ形を、ミリ秒でたどる
わかっていること: R か C を小さくすれば時定数は短くなります。曲線は同一で、変わるのは時間軸の数字だけです。
応答: τ = RC = 10 ms
計算例: R = 1 kΩ、C = 10 µF → τ = 10 ms。12 V からなら 10 ms 後に 7.585 V、50 ms 後に 11.919 V。
このケースを開く: 高速RC
04
大きな τ — またも同じ形、今度は分の単位で
わかっていること: R か C を大きくすれば時定数は伸びます。速いケースの 1 万倍遅く、それでいてまったく同じ曲線です。
応答: τ = RC = 100 s
計算例: R = 100 kΩ、C = 1 mF → τ = 100 s。9 V からなら 100 s 後に 5.689 V に達し、満充電とみなすには約 500 s かかります。
このケースを開く: 低速RC
参考文献 (2)
- RC time constants and the 63.2% / 99.3% landmarks: Horowitz, P. & Hill, W. The Art of Electronics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2015, §1.4. ISBN 978-0-521-80926-9.
- The membrane time constant behind the neuron block: Hodgkin, A. L. & Huxley, A. F. (1952). "A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve." The Journal of Physiology 117(4), 500–544.
全プロセスの詳細解説
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100 μF のコンデンサ（10 kΩ を介して 5 V の電源から充電） 5 ステップ
100 μFのコンデンサーが10 kΩの抵抗を介して5 Vの電源から充電される。555タイマーがトリガーされる3分の2の電圧に達する時間を求め、さらにそこに達するまでに抵抗器が電源エネルギーのどれだけを熱に変換するかを求めよ。 これはR = 10 kΩ、C = 100 μF、V₀ = 5 V での 充電 である。
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オームとファラドの積は秒となる。これはそのまま受け入れるのではなく、一度手計算で確認しておく価値がある。この回路には時間の単位を持つ他の要素が存在しないため、その積が利用可能な唯一の時計となる。
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指数が t/τ であるため、0.632、0.950、0.993 という割合は、これまでに作られたあらゆるRC回路に共通する。個々の回路によって異なるのは、それらが掛け合わされる電圧と、1目盛りの長さだけである。
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555タイマーは「充電完了」を待つことはない。コンデンサーの電圧を電源の3分の2と比較し、それに達した瞬間に動作する。したがって、指定した電圧に達する時間を求めるには充電の法則を逆算する。1時定数では不十分であり、3.161 Vでは3.333 Vのしきい値に届かない。この不足分の0.099 sこそが、トリガーポイントが1ではなくln 3の位置にある理由である。
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電圧の代わりに電荷を数えてみる。コンデンサーに蓄えられるすべてのクーロンは、その瞬間のコンデンサーの電圧に関わらず、電源からフル電圧の5 Vで供給されたため、電源が支払うエネルギーは QV₀ となる。コンデンサー自体に蓄えられるエネルギーはその半分である。充電中の平均電圧が V₀/2 であったからである。
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失われた半分は別のどこかへ向かったわけだが、回路には他に行き先となる部品が1つしか存在しない。充電全体にわたって抵抗器の発熱量を積分するとこの数値が確認できる。ここで R に注目すると、Rは電流を割ると同時にτを掛けるため、完全に相殺される。
解答
ツールによる計算結果は、τ = 1.00 s、ならびに1倍、3倍、5倍の時定数において 3.161 V、4.751 V、4.966 V となる。心にとどめるべきはステップ5である。抵抗を半分にするとコンデンサーは1秒ではなく半秒で充電されるが、放散される熱量は全く同じ1.25 mJとなる。熱量は C と V₀ のみによって決まるからである。したがって、抵抗を介して供給されるコンデンサーの効率は、どのように設計しても50%となる。効率的な充電器が抵抗を使用しないのはそのためである。インダクターとスイッチを用いれば、障害となる一定の電圧降下なしに同じ電荷を移動させることができる。この「50%」という値こそが、大容量コンデンサーバンクを抵抗器経由で充電することが、電気的な問題である前に熱の問題となる理由である。
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学習の道すじ
