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理論 — 一次系ステップ応答ラボ
一次系とは、変化の速さが「まだ残っている距離」に比例する系のことです。急に加わる一定の入力 —— ステップ —— を与えても飛び移りはせず、残った差を一定の割合で詰めていき、新しい落ち着き先へ指数関数的に近づいていきます。時定数 τ とは、その差が最初の 1/e まで縮むのにかかる時間です。
各記号の意味
K- ゲイン。入力 1 単位あたり、最終的にどれだけの出力を返すか。
At = 0で加えるステップの大きさ。τ- 時定数。単位は
tと同じ。ここで時間の進み方に影響する唯一の記号です。 K·A- 指数関数が尽きたあと、出力が落ち着く最終値。
公式の導き方
- 公式ではなく物理的な前提から始めます。一次系は、目標までの残り距離に比例した速さで変化します。残りが多いほど速く動く、ということです。式にすれば
dy/dt = (K·A − y)/τ、整理してτ·dy/dt + y = K·A。 - 変数分離して積分します。
dy/(K·A − y) = dt/τから−ln(K·A − y) = t/τ + c。 - 初期条件を入れます。ステップの前は静止しているので
y(0) = 0。これで積分定数が決まり、K·A − y = K·A·e^(−t/τ)が残ります。この一行だけを読んでください。指数関数的に減っていくのは差のほうであり、単純なのは出力ではなく差なのです。 - したがって
y(t) = K·A(1 − e^(−t/τ))。残っている割合はe^(−t/τ)で、tとτには比を通してしか依存しません。この一点だけで、あの一覧表がすべて決まります。τ 1 つで差は1/e、つまり 63.21% 完了。3τ で 95.02%、5τ で 99.33%。これらの数値は、ゲインでもステップの大きさでも動かせません。
表示の読み方
緑の曲線が y(t)、灰色の破線が最後まで届かない最終値 K·A です。縦の目盛線は 1τ から 5τ を示すので、一覧表の百分率をそのまま曲線の上で読み取れます。オレンジの破線は手順 4 を目に見える形にしたもので、初期勾配 K·A/τ で原点を出発し、ちょうど時定数 1 つ分のところで灰色の線と交わります。交点には点が打ってあります。青い帯は最終値の ±2%、工学でいう「到達した」の通常の定義です。縦のマーカーは「時刻」欄で指定した瞬間を表します。下の表は、いま自分が乗っている τ の行を強調します。
- 前提
- 蓄えの要素が一つだけであること、ステップの前は静止していること、そしてステップが瞬時に立ち上がることを前提にしています。線形性も仮定しています。ステップを 2 倍にすれば曲線上のどの点も 2 倍になる、という性質があるからこそ、一覧表の百分率は固定なのです。飽和はまったく扱っていないので、ゲイン 10 とステップ 10 を入れれば、実際のアクチュエータには出せない出力 100 を平然と予測します。
- 成り立たない場合
- 一次応答は単調です。最終値を行き過ぎることも、振動することもありません。ですから現実の系が鳴いたり、落ち着く前に目標を通り越したりするなら、それは一次系ではなく、どんな τ を当てはめても合いません。それには少なくとも二つの蓄えが必要で、そこから減衰振動子の二次的なふるまいが生まれます。むだ時間は別の壊し方をします。輸送遅れは曲線の形を変えずに全体を右へずらすだけなので、これもまた τ に吸収させることはできません。
全プロセスの詳細解説
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ステップ入力から1時定数後に63.21%に達した出力 5 ステップ
1 次系にステップ入力を加えて 1 時定数が経過したとき、出力は 63.21% に達している。この 63.21% や、立ち上がり時間、調整時間が、このシステムの固有の性質ではないことを示せ。
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支配方程式によると、出力は入力との差に比例する速度で入力を追従する。これを解くと指数関数的な接近挙動が得られ、ゲインとステップ幅は全体の係数としてのみ現れる。
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したがって t = τ において、到達する割合は 1 − e⁻¹ となる。ゲインとステップ幅は相殺されるため、63.21% という数値は e の性質によるものであり、このシステムの性質によるものではない。
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立ち上がり時間においても同様の相殺が起こる。任意の割合に達する時刻について応答の逆関数を求め、10% と 90% の時刻の差を計算する。その差は τ ln 9 であり、ln 9 = 2.197 は無次元の数である。
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偏差が 2% 以内に収まる調整時間は、残りの指数項が 0.02 まで減少する時刻を求めることになり、これは τ ln 50 = 3.912τ となる。ここでもゲインやステップ幅は影響しない。
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これは、すべてのプロセスを逆向きに適用できることを意味する。実機で立ち上がり時間を測定すれば τ = tᵣ/2.197 となり、ストップウォッチによる 1 回の測定だけで動特性を完全に決定できる。
解答
ツールには 0.6321、63.21%、立ち上がり時間 2.197、および調整時間 3.912 と表示される。これらはすべて τ に e 由来の定数を乗じたものであり、ゲインやステップ幅には一切依存しない。高速 と 低速 のプリセットを順にクリックすると、その違いを観察できる。出力、定常値、および 63.21% はまったく変化しないのに対し、パネル上のあらゆる 時間 は正確に 10 倍される（2.197 は 21.972 に、3.912 は 39.120 になる）。世界に 1 次ステップ応答は 1 種類しか存在せず、τ はその応答が展開する速さを決めているに過ぎない。2 時定数で 86.47%、3 時定数で 95.02%、5 時定数で 99.33% に達する。これが工学における「5 時定数で応答は安定する」の由来である。
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学習の道すじ
抵抗、そしてリアクタンス
参考文献 (1)
- The standard treatment of the first-order lag, including the rise and settling times this page reports and why they are pure multiples of τ: K. J. Åström & R. M. Murray, Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Princeton University Press, 2008.