フックの法則とバネの実験室

力、バネ定数、変位、蓄えられた弾性エネルギー、直列・並列バネの関係をリアルタイムで探究しよう。

計算例 — フックの法則とバネの実験室

バネ定数 k	10 N/m
バネ定数 k₁	10 N/m
バネ定数 k₂	10 N/m
質量 m	0.1 kg
減衰定数 c	0.00 N·s/m
変位 x	-0.45 m

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近くで見れば、どんな安定な谷もバネに見える 🖖

フックの法則 F = -kx は、変形下における材料の線形弾性挙動を記述します。負の符号は復元力を表し、システムを平衡状態に戻すように働きます。原子スケールにおいて、フックの法則は、原子間の化学結合を支配するレナード・ジョーンズ・ポテンシャルの一次近似です。安定したポテンシャルの井戸の底付近では、ポテンシャルエネルギー曲線は近似的に二次関数 U = 1/2 kx² になります。この二次エネルギー状態は、どんな小さな摂動も、振動数が振幅に依存しない単振動をもたらすことを意味します。フックの法則は、音波や機械的振動を理解する基礎です。

剛性と、ばねの組み合わせ方 🖖

フックの法則が述べているのは、ばねが引き伸ばした量や縮めた量にちょうど比例した力で押し返す、というだけのことです。ばね定数 k は要するにその硬さで、単位はニュートン毎メートル (N/m)。システムモードは小気味よい驚きを見せてくれます。同じばね2本を横に並べる（並列）と剛性は2倍になりますが、同じ2本を端どうしでつなぐ（直列）と硬さは半分になります。ばねを鎖のようにつなぐと、強くなるどころか柔らかくなるのです。

フックは自分の法則をアナグラムに隠した 🖖

1676年、ロバート・フックはまだ発見を公表する気になれず、それを並べ替えたラテン語のアナグラム ceiiinosssttuv として発表しました。2年後、彼はこれを解きます——ut tensio, sic vis、「伸びのごとく、力もまた」。ぜんまい仕掛けの時計を手がけながら、先取権を守っていたのです。この同じ線形の法則は、今日のキッチンスケールや自動車のサスペンション、ノック式ボールペンのカチッという動きの中に生きています。

フックの法則 — 何を問うのか、そしてばねはどう組まれているのか

あなたはどのばねのケースにいますか？

ばねが持つ数はひとつ、かたさ k だけで、あとは何を問うかで決まります。引けば力は kx。そこで保てば蓄えられるのは ½kx² で、伸びに比例するのではなく伸びの 2 乗で増えます。手を離せば、同じ k が時計になります。そして 2 本のばねが一緒に働くとき、かたさが足されるのか、やわらかさが足されるのかは、つなぎ方だけで決まります。

力を知りたい — 原点を通る直線 F = kx

蓄えたエネルギーを知りたい — 放物線、つまり 2 乗で増える E = ½kx²

手を離す — ばねが時計になる ω₀ = √(k/m)

ばね 2 本を横に並べる — かたさが足し算になる k_eq = k₁ + k₂

ばね 2 本を縦につなぐ — 組はどちらの単体よりやわらかい 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂

力を知りたい — 原点を通る直線

わかっていること: ばね 1 本と変位 1 つ。F = kx。力は端が静止位置からどれだけ動いたかに比例し、その位置へ引き戻します。

関係: F = kx

計算例: k = 100 N/m を x = 0.3 m 伸ばす → F = 100 × 0.3 = 30 N

このケースを開く: 力対変位

力を知りたい — 原点を通る直線. 変位に対する力は直線で、その傾きがかたさです。ばね 1 本と変位 1 つ。F = kx。力は端が静止位置からどれだけ動いたかに比例し、その位置へ引き戻します。 — 変位に対する力は直線で、その傾きがかたさです。

蓄えたエネルギーを知りたい — 放物線、つまり 2 乗で増える

わかっていること: 直線的に増える力に逆らってした仕事はその直線の下の面積、すなわち ½kx² です。伸びが 2 倍なら蓄えは 4 倍になります。

関係: E = ½kx²

計算例: k = 150 N/m を x = −0.4 m で保つ → E = ½ × 150 × 0.16 = 12 J。変位が半分なら 3 J だけ。

このケースを開く: バネのエネルギー

蓄えたエネルギーを知りたい — 放物線、つまり 2 乗で増える. 蓄えられるのは力の直線の下の面積、すなわち変位についての放物線です。直線的に増える力に逆らってした仕事はその直線の下の面積、すなわち ½kx² です。伸びが 2 倍なら蓄えは 4 倍になります。 — 蓄えられるのは力の直線の下の面積、すなわち変位についての放物線です。

手を離す — ばねが時計になる

わかっていること: 静止から離せば、おもりは ω₀ = √(k/m) で振動します。どれだけ引いたかには依りません。減衰 c は振れがどれだけ早く収まるかだけを決めます。

関係: ω₀ = √(k/m)

計算例: k = 120 N/m、m = 1.5 kg → ω₀ = 8.944 rad/s、よって T = 0.702 s、f = 1.42 Hz。c = 0.3 なら減衰比は ζ = 0.011 で、ほとんど減衰しません。

このケースを開く: 減衰振動

手を離す — ばねが時計になる. おもりは k と m だけで決まる速さで振動し、減衰は包絡線を縮めるだけです。静止から離せば、おもりは ω₀ = √(k/m) で振動します。どれだけ引いたかには依りません。減衰 c は振れがどれだけ早く収まるかだけを決めます。 — おもりは k と m だけで決まる速さで振動し、減衰は包絡線を縮めるだけです。

ばね 2 本を横に並べる — かたさが足し算になる

わかっていること: 2 本とも同じ隙間を渡すので、どちらも同じ x だけ伸び、それぞれが自分の力を出します。組は k₁ + k₂ のばね 1 本としてふるまいます。

関係: k_eq = k₁ + k₂

計算例: k₁ = 80 N/m と k₂ = 120 N/m を並列に → the pair acts as 200 N/m。0.25 m 伸ばすには 50 N が要ります。

このケースを開く: 並列バネ

ばね 2 本を横に並べる — かたさが足し算になる. 2 本とも同じだけ伸びるので、どの x でも力が足し合わされます。 2 本とも同じ隙間を渡すので、どちらも同じ x だけ伸び、それぞれが自分の力を出します。組は k₁ + k₂ のばね 1 本としてふるまいます。 — 2 本とも同じだけ伸びるので、どの x でも力が足し合わされます。

ばね 2 本を縦につなぐ — 組はどちらの単体よりやわらかい

わかっていること: 同じ力が両方のばねを通るので、それぞれが自分の分だけ伸び、二つの伸びが足されます。足し算になるのはかたさの逆数です。

関係: 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂

計算例: 150 N/m のばね 2 本を直列に → 150 × 150 / 300 = 75 N/m for the pair。合計 0.25 m ならそれぞれ 0.125 m 伸び、力は 18.75 N です。

このケースを開く: 直列バネ

ばね 2 本を縦につなぐ — 組はどちらの単体よりやわらかい. 同じ力が両方を通るので、伸びが足し合わされ、組はやわらかくなります。同じ力が両方のばねを通るので、それぞれが自分の分だけ伸び、二つの伸びが足されます。足し算になるのはかたさの逆数です。 — 同じ力が両方を通るので、伸びが足し合わされ、組はやわらかくなります。

参考文献 (1)

Insight block 3 — the anagram, and the law it concealed: R. Hooke, Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring. London, 1678 — where "ceiiinosssttuv" is unscrambled to "ut tensio, sic vis".

全プロセスの詳細解説

端と端を繋ぎ合わせて合計0.25 m伸ばされた2つの150 N/mのばね 5 ステップ
ばね定数 150 N/m の2本のばねを直列に接続し、全体で 0.25 m 伸ばした。 この組合せのばね定数、引く力、および蓄えられるエネルギーを求めよ。これは 複数のばね における 直列ばね 配置であり、k₁ = k₂ = 150 N/m、質量 0.1 kg である。
1. まずは2本のばねが何を共有しているかから考える。伸ばされたばねはその両端を等しい力で引っ張るため、1本目のばねが2本目のばねに伝える張力は、壁が受ける張力と同じである。力は両方のばねに共通であるが、伸びは共通ではない。
  
  $F = k_{1} x_{1} = k_{2} x_{2}$
2. 足し合わされるのは伸びである。なぜなら、全体の伸びは2つの伸びを端から端まで合わせたものだからである。共通の力で割ると逆数の和となり、逆数の和をとるからこそ、組合せ全体のばね定数が単体のどちらのばねよりも小さく（柔らかく）なるのである。
  
  $x = x_{1} + x_{2} = \frac{F}{k _{1}} + \frac{F}{k _{2}} ⟹ \frac{1}{k _{e q}} = \frac{1}{150} + \frac{1}{150}, k_{e q} = 75 N/m$
3. この組合せは、指定された 0.25 m において、ばね定数 75 N/m の1本のばねとして振る舞う。各ばねは全体の半分しか伸びないものの、全体の力と同じ大きさの力を及ぼす。パネルでは 18.75 N を四捨五入して 18.8 N と表示する。
  
  $F = k_{e q} x = 75 \times 0.25 = 18.75 N, x_{1} = x_{2} = \frac{18.75}{150} = 0.125 m$
4. エネルギーは力–伸び線図の下側の面積であるため、力と同様に k_eq に正確に従う。2本のばねに分配されると、それぞれ 1.172 J ずつ等分される。同じ 0.25 m まで伸ばしたばね定数 150 N/m の1本のばねは、その2倍にあたる 4.688 J を蓄える。なぜなら、その伸びに達するには2倍の力が必要だからである。
  
  $P E = \frac{1}{2} k_{e q} x^{2} = \frac{1}{2} (75) (0.25)^{2} = 2.344 J = 2 \times \frac{1}{2} (150) (0.125)^{2}$
5. ばね定数を半分にしても、周期が半分になるわけではない。ばね定数は平方根の中にあるため、この組合せの周期は、同じ質量を単一のばねにつるした場合の 0.162 s の √2 倍となる。
  
  $T = 2 π \frac{m}{k _{e q}} = 2 π \frac{0.1}{75} = 0.229 s = 2 \times 0.162 s$
解答

ツールには k_eq = 75.0 N/m、復元力 18.8 N、蓄積エネルギー 2.344 J、周期 0.229 s と表示される。直列の法則を逆に読むと、単一のばねについても大切なことが分かる。どんなばねも、自身を構成する2つの半分が直列に接続されたものと見なせるため、それぞれの半分は全体に対して2倍のばね定数を持つことになる。ばね定数は自然長に反比例するため、ばねを半分に切ると弱くなるのではなく、かえって硬くなる。これはサスペンションを安価に硬くする方法であると同時に、サスペンションを台無しにする典型的な方法でもある。また、代数を使わずにステップ 2 を説明することもできる。2本の同一のばねを端と端で繋ぐことは、長さが2倍のばねを1本作ることと他ならないからである。

$\frac{1}{k _{e q}} = i \sum \frac{1}{k _{i}} ⟹ k \propto \frac{1}{L}$

学習の道すじ

一つのばねから定常波へ

この次に共振変位に比例する復元力と、全くばねのない場所でその形が現れる理由。安定したポテンシャルの底付近では曲線が放物線となるため、ばねと同じ力が働くのです。この運動を決定づけるのは、ばね定数と質量の二つの量のみです。

42Math チーム · 更新 2026-08-17

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