波の干渉 / 二重波源

2 単位離れた 2 つの波源、波長 0.5。2 次の明線と暗線の方向を求め、さらに明線が全体で何本存在するかを数えよ。

1. すべての結論は 1 つの幾何学的ファクトから導かれる。角度 θ において、遠方の波源からの波が進む追加の距離は d sin θ である。それが同位相で届くか逆位相で届くかが、この主題のすべてである。

   $$\Delta r=d\sin \theta ,\text{bright}:\Delta r=n\lambda ,\text{dark}:\Delta r=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda$$

2. 余分な光路差が波長の整数倍なら、波の山どうしが重なります。2次では光路差がちょうど1単位必要で、この間隔なら正弦が1/2のときにその条件を満たします。

   $$\sin {\theta }_{\text{bright}}=\frac{n\lambda }{d}=\frac{2\times 0.5}{2}=\frac{1}{2}⟹\theta =30^{\circ }$$

3. 半波長ずれると、山と谷が重なり合う。2.5 という数値は誤植ではない。第 n 暗線は第 n 明線と第 n+1 明線の間に位置するからである。

   $$\sin {\theta }_{\text{dark}}=\frac{2.5\times 0.5}{2}=0.625⟹\theta =38.68^{\circ }$$

4. 次に範囲を制限する。正弦は 1 を超えることができないため、比 d/λ が次数の上限を定め、干渉縞は中心の両側および中心自体に存在する。

   $$\sin \theta \le 1⟹n\le \frac{d}{\lambda }=4,\text{bright orders}=2n_{\max }+1=9$$

5. この限界を厳密に受け止めるなら、それは設計の指針となる。波源の間隔が 1 波長未満では中央ローブ以外何も存在せず、半波長では存在するローブはちょうど 1 つだけになる。

   $$d<\lambda ⟹n_{\max }=0:\text{one lobe only. }d=\frac{\lambda }{2}\text{is the array spacing that has no grating lobe.}$$