トラス解析と節点法

腹材の配置、支間長、桁高、そして荷重の位置を選んでみてください。このページでは、節点法を用いてすべての部材の応力を計算し、力が働いていない部材を示します。また、斜材の向きを逆にした場合にトラスがどう振る舞うかも確認できます。

計算例 — トラス解析と節点法

ローラー支点の反力	60.00 kN
ピン支点の反力	60.00 kN
節点L0における最初の未知数: L0–U0	-69.97 kN
同節点における二つ目の未知数: L0–L1	+36.00 kN
最大の引張力（L2–L3, L3–L4）	+180.00 kN
最大の圧縮力（U2–U3）	-216.00 kN
応力ゼロの部材	0
部材数＋反力数 − 2 × 節点数	0

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レッスン

理論 — トラス解析と節点法

トラスとは、まっすぐな部材を端で繋ぎ合わせ、その接合部にのみ荷重がかかるようにした骨組みのことです。節点を摩擦のないピンだと理想化すると、すべての部材は自身の長さ方向にのみ力を伝達します。引っ張られれば引張、押しつぶされれば圧縮となり、どこにも曲げは生じません。この特性が、全体を算術で解けるようにしています。各節点において、二つの方向の力の合計がそれぞれゼロにならなければなりません。これにより、m個の部材の力とr個の反力に対して、2j個の方程式が得られます。m + r = 2jとなるとき、トラスは静定であり、力のつり合いだけで各部材の応力が決定されます。そこに材質や剛性、断面の形状は一切関係しません。節点法とは、未知数が二つしかない場所から出発し、節点ごとにこれらの方程式を解いていく手法です。

各記号の意味

m: 部材の数。各部材はそれぞれの軸線に沿って一つの未知の力を伝達します
j: 節点の数。各節点からは方向ごとに一つ、計二つの方程式が得られるため、目標となる数は2jです
r: 反力の成分の数。ここではピン支点に二つ、ローラー支点に一つで、合計三つです
F: 部材に生じる応力（キロニュートン）。このページでは一貫して引張を正としているため、符号が答えの半分を意味します
θ: 斜材と下弦材がなす角度。この計算手法で登場する唯一の三角関数です

前提: ピン接合、まっすぐな部材、そして節点にのみかかる荷重。これらはどれも理想化された条件であり、実際の橋ではそうはいきません。ガセットプレートはボルトや溶接で固定されているためいくらかの曲げを伝えますし、部材自身にも重さがあり、それは節点に集中してかかるわけではありません。また、床版は荷重を節点に落とすのではなく、弦材に沿って分散させます。しかし、バランス良く設計されたトラスであれば、これら三つの影響はどれも小さく収まります。だからこそ、この理想化は一世紀半にわたって生き残り、実際に崩れない構造物を生み出してこれたのです。さらにこの解析では、トラスが変形しないことも前提としています。ここに示されている応力はすべて力のつり合いから導かれたものであり、橋のたわみが許容範囲内に収まるかどうかは、このページではわかりません。
成り立たない場合: m + rが2jと等しくなくなった瞬間に、前提は崩れます。部材を一つ追加すると、力のつり合いだけでは解けなくなります。各部材に働く力はそれぞれの剛性、つまり材質や断面の形状に依存するようになり、このページで説明した手法はまったく機能しなくなります。これはブリッジ回路が単純化できないときにキルヒホッフの法則がぶつかるのと同じ壁であり、解決策も同じです。すなわち、つり合い以外の場所から新しい方程式を持ってくるしかありません。逆の方向にも崩れることがあります。部材を一つ取り除くと、骨組みは構造物ではなく折りたたまれる機構のようになってしまい、静定判定の行はマイナスになります。また、部材が太くて短い場合にもピン接合という理想化は崩れ、接合部の剛性によって部材に実際の曲げが強制されることになります。

これらの部材のうち三つは応力ゼロであり、計算する前に見分けることができます 🖖

まずは同じ支間長のプラットを押してみてください。三つの部材の応力が完全にゼロになります。L1–U1、L3–U3、L5–U5です。これらを見つけるのに計算は必要ありません。節点U3に注目してください。二本の上弦材が一直線に並び、そこに垂直材が交わっています。この節点を引っ張るものは他にないため、垂直材の力と釣り合う力は存在しません。したがって垂直材の力はゼロになります。これは荷重の大きさや位置に関わらず成り立ちます。他の二つの部材についても、それぞれの下部の節点で同じ理屈が当てはまります。このツールは、計算された応力から見つける方法と、図を見るだけで計算を一切行わない方法の二つの異なるアプローチでこれらを判定しています。23,814通りのトラスと荷重の組み合わせでテストし、両者の答えは完全に一致しました。これらの部材は無駄なものではありません。今日力が働いていない部材は、力が働いている別の部材をまっすぐに保つ役割を担っています。これこそが、次のレッスンの主題です。

斜材を反転させると、長い部材の応力の符号が変わります 🖖

同じ支間長のプラットを押し、次に斜材を反転（ハウ）を押してください。節点の位置も、部材の数も、荷重もまったく同じです。プラットトラスでは、長さ7.81 mの四本の内側の斜材には+93.72 kNの引張力が働き、長さ5 mの短い垂直材が圧縮力を負担するか、あるいは応力がゼロになります。これを反転させると、同じ四本の斜材に−93.72 kNの圧縮力が働き、すべての垂直材が引っ張られます。両端の二本の斜材はどちらの形式でも圧縮されます。これらは反力をトラスの内部へとまっすぐ伝える役割を持っており、その事実は変わらないからです。力の大きさは変わらず、符号だけが変わりました。これが重要なのは、圧縮される長い部材は鋼材の強度とは無関係の荷重で座屈してしまうのに対し、引っ張られる部材はその長さをまったく気にしないからです。鋼鉄製の鉄道トラスがほぼ常にプラットトラスであり、接合部が圧縮に強い木造トラスにハウトラスが多いのはこのためです。

同じ反転により、二つの弦材の間で72 kNの力が移動します 🖖

この変更は弦材にも影響を与えます。その理由は追ってみる価値があります。プラットトラスでは下弦材が+144.00 kN、上弦材が−216.00 kNを負担していますが、ハウトラスではこれらが入れ替わり、+216.00 kNと−144.00 kNになります。3番目と4番目の格点の間でトラスを切断してみましょう。二本の弦材と一本の斜材の、合計三本の部材が切断面を横切ります。残りの二本が交わる点を中心にモーメントを計算すると、一つの弦材の力が単独で求まります。プラットトラスでは斜材がU2からL3へと下るため、支点から12メートルの位置にあるU2で上弦材と交わります。これを反転させると、斜材はL2からU3へと上り、支点から18メートル離れたU3で上弦材と交わります。反力も桁高も同じですが、腕の長さが12 mと18 mで異なります。つまり、60 × 12 ÷ 5 = 144 に対し、60 × 18 ÷ 5 = 216 となるのです。

全プロセスの詳細解説

最初の節点を手計算で解き、その後五つの節点を飛ばす 6 ステップ
支間長36 m、桁高5 m、六つのパネルからなるプラットトラスの中央に、120 kNの荷重がかかっているとします。左側の支点で交わる二本の部材の応力を求め、次に、その間にある四つの節点を解くことなく中央の下弦材の応力を求めてみてください。同じ支間長のプラットを押して、結果を確認しながら進めましょう。

この問題をツールで開く
1. 荷重は中央にあるため、二つの反力はそれを均等に負担します。この段階では、腹材の形式はまったく関係ありません。
  
  $R_{A} = R_{B} = \frac{120}{2} = 60 kN$
2. 節点L0から始めます。トラスの中で未知の部材が二つしかない節点はここだけだからです。他のすべての節点には三つの未知数があり、計算の足がかりがありません。斜材は6 m進んで5 m上がるため、sin θ = 0.6402、cos θ = 0.7682となります。
  
  $sin θ = \frac{5}{6 ^{2} + 5 ^{2}} = 0.6402, cos θ = \frac{6}{6 ^{2} + 5 ^{2}} = 0.7682$
3. L0における垂直方向の力のつり合いには、反力と斜材だけが関わります。下弦材は水平であるため、垂直方向の力には寄与しないからです。
  
  $Σ F_{y} = 0 : 60 + F_{1} sin θ = 0$
4. 符号が答えそのものです。マイナスは部材が節点を押し返していることを意味します。つまり、L0–U1には93.72 kNの圧縮力が働いています。
  
  $F_{1} = - \frac{60}{0 . 6402} = - 93.72 kN$
5. 次に、同じ節点で水平方向のつり合いを考えます。斜材の力が分かっているため、下弦材の力はプラス、つまり引張として求まります。
  
  $Σ F_{x} = 0 : F_{2} + F_{1} cos θ = 0 \Rightarrow F_{2} = 93.72 \cdot 0.7682 = + 72.00 kN$
6. この計算をあと11回繰り返すこともできます。しかし代わりに、3番目と4番目の格点の間でトラスを切断し、求めなくてもよい二本の部材が交わるU2を中心にモーメントを計算してみてください。下弦材の力はたった一行の式で求まり、間にある四つの節点を解く必要はまったくありません。
  
  $Σ M_{U_{2}} = 0 : 60 \cdot 12 = F_{L_{2} L_{3}} \cdot 5 \Rightarrow F_{L_{2} L_{3}} = + 144.00 kN$
解答

L0–U1は−93.72 kN、L0–L1は+72.00 kNであり、中央の下弦材は一つのモーメント方程式から+144.00 kNと求まります。この二つの手法は対立するものではありません。節点法は体系的ですべての答えを出してくれますし、断面法は一つの部材の力を一行の計算で導き出します。橋の寸法を決めるエンジニアが必要とするのは、最も条件の厳しい一つの部材の力であり、そのために断面法（切断）を用いるのです。また、最後のステップは144という数字がどこから来たのかも示しています。それは、60 kNの反力に12メートルの腕の長さを掛け、5メートルの桁高で割った値です。桁高を半分にすればこの力は2倍になります。これがこのページにある桁高の低いプリセットの理由であり、長い橋が深く設計される理由でもあります。

$F_{1} = - 93.72, F_{2} = + 72.00, F_{L_{2} L_{3}} = \frac{60 \cdot 12}{5} = + 144.00 kN$

学習の道すじ

荷重はどこへ流れるか

参考文献 (2)

Where the counting rule on this page comes from. Maxwell gives the condition a frame must satisfy for equilibrium alone to fix every force — the m + r = 2j the results table prints as a row: J. Clerk Maxwell, "On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames." The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 27(182), 1864, pp. 294-299. DOI 10.1080/14786446408643668
A standard statics text for the method of joints and the zero-force member rules the page claims a reader can apply by eye. R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics, 14th ed. Pearson, 2016. ISBN 978-0-13-391892-6.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。