モールの応力円と傾斜面の応力

一軸引張を押してみてください。棒が100 MPaで引張られているとき、θ = 0の断面にはせん断応力が働きません。要素を回転させるとせん断応力が現れ、θ = 45°まで大きくなります。ここで引張応力の半分である50 MPaに達し、その後は再び小さくなっていきます。表には−50.00と表示されます。これは符号の規約上、この向きに傾いた面のせん断応力が負の方向を向くためです。モールの応力円上では、この状態は一番上または一番下の点にあたります。要素の角度は円上ではすべて2倍になるため、最初の位置から4分の1周した位置になるわけです。鋼のような金属は、すべり面に沿って転位が移動することで降伏します。これはせん断応力によって引き起こされるため、金属は斜め方向に崩れます。鋼の試験片を破断するまで引張ると、その切断面は軸に対して約45°傾いたカップ・アンド・コーン状になります。これを法則化したものがトレスカの降伏条件です。延性金属は、最大のせん断応力が引張降伏応力の半分に達したときに降伏するのです。

純せん断（ねじり）を押してみましょう。ねじりを受ける軸の断面には100 MPaのせん断応力が働いていますが、要素を45°回転させるとせん断応力は消えます。その代わり、一対の面は100 MPaで引張られ、もう一対の面は100 MPaで圧縮されます。ねじりとは、軸に対して45°傾き、互いに直角に交わる引張と圧縮のことなのです。材料が引張と圧縮のどちらに弱いかによって、壊れ方が決まります。鋳鉄のねじりを押してください。鋳鉄は引張に弱いため、引張応力が働く+45°の面から破壊が始まります。ねじられた鋳鉄の棒は、軸に対して45°のらせん状にひびが入ります。黒板用のチョークを指でねじったときも同じように割れます。一方、鋼の軸はせん断によって破壊します。せん断応力は断面そのもの、つまりθs = 0°で最大になるため、鋼は軸に対して垂直にねじり切れるのです。

圧力容器の壁を押してください。周方向に100 MPa、軸方向に50 MPaの応力がかかっています。この二つの値を通る円の半径は25 MPaであり、これが壁面に垂直な任意の面に働く最大のせん断応力です。しかし、壁には厚みという三つ目の方向があります。外表面には何も押し付けるものがないため、σ3 = 0となります。100から0へと広がる応力円は先ほどの2倍の大きさになり、厚み方向に傾いた面に働くせん断応力は50 MPaに達します。面内の応力円だけでこの容器の安全性を確認しようとすると、トレスカの安全率は250 ÷ (2 × 25) = 5.00と計算されてしまいます。このページに表示されている2.50が真の安全率です。この落とし穴は、二つの主応力が同じ符号を持つときに必ず現れます。それが最も際立つのが等二軸応力の状態です。面内の応力円は1点になり、シート面内にはせん断応力が一切働きませんが、厚み方向には30 MPaのせん断応力が存在しているのです。