円周角の定理ラボ

円周上で A と B はそれぞれ 330°、110°の位置にあり、P は 220°の位置にあります。パネルには、P における角が 70°、中心角が 140°と表示されています。表示をそのまま受け入れるのではなく、中心角が円周角の 2倍になることを証明してください。さらに、その証明が P の位置について暗黙に置いている仮定を明らかにしましょう。

1. まず弧の大きさを測る。330° の位置にある A から反時計回りに 110° の B まで進むと 140° 掃引され、この弧は P が位置していない方の弧である。この弧に対する中心角は定義により 140° である。なぜなら、中心角とは本質的にその弧の角度そのものだからである。

   $$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=110^{\circ }-330^{\circ }(\text{mod }360)=140^{\circ }$$

2. 次に補助線を引く。そしてこれこそが証明のすべてである。P から中心 O を通る直線を引き、円と交わる反対側の点を D とする。他には何も付け加えない。

3. OA と OP はともに半径であるため、三角形 OAP は二等辺三角形であり、A における角と P における角は等しい。この角を α とおくと、∠OPA = ∠OAP = α となる。

   $$OA=OP=r\Rightarrow \angle OPA=\angle OAP=\alpha$$

4. 角 ∠AOD は三角形 OAP の O における外角であり、外角はそれと隣り合わない 2 つの内角の和に等しい。したがって ∠AOD = α + α = 2α である。

   $$\angle AOD=\alpha +\alpha =2\alpha$$

5. 反対側でも同じ議論により、∠DOB = 2β を得る。ただし β = ∠OPB である。OPを延長した直線が弧AB上で円と交わる場合には、両者を加えて ∠AOB = 2α + 2β = 2(α + β) となる。そして α + β は、まさに ∠APB に等しい。

   $$\angle AOB=2\alpha +2\beta =2(\alpha +\beta )=2\angle APB$$

6. したがって、中心角は円周角の2倍であり、ここでは 2 × 70° = 140° となる。証明で用いたものを振り返ろう。二本の半径、その両側に一つずつできる二等辺三角形、そして外角である。長さも座標も、弧の測定も使っていない。

   $$2\times 70^{\circ }=140^{\circ }$$

二つの印がついた点は、どちらも弦ABを60°の角で見込んでいます。円周上にない点からはどう見えるのかを考え、次に、キッカーがゴールポストを最も広い角で見込める位置を導いてみましょう。

1. 点Aは320°、点Bは80°の位置にあります。そのため、点Pを含まない側の弧の大きさは120°です。その半分の値が60°であり、点Qは点Pと同じ弧に乗っているため、見込む角も同じになります。

   $$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=80^{\circ }-320^{\circ }(\mathrm{mod}360)=120^{\circ }⟹\angle APB=\angle AQB=60^{\circ }$$

2. 次は弦そのものです。弧に対する中心角は円周角の2倍であり、弦の長さは中心角の半分のサインを 2R 倍したものになります。したがって半径 1 のこの円では、AB = 2 sin 60° = √3 となります。

   $$AB=2R\sin (\angle APB)=2\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}=1.7321(R=1)$$

3. この式を逆から読んでみましょう。弦を固定したまま、円の大きさを変えてみます。円周角のサインは AB ÷ 2R なので、点Aと点Bを通る円が小さいほど見込む角は大きくなります。最も小さいのはABが直径になるときで、角は90°になります。どの円の上に立つかによってすべてが決まるのです。

   $$\sin (\angle APB)=\frac{AB}{2R}⟹R\text{smaller}\Rightarrow \angle APB\text{larger},R=\frac{AB}{2}\Rightarrow \angle APB=90^{\circ }$$

4. 円周から外れると、角はもはや60°ではありません。円の内側では、二直線がもう一つの弧も切り取るため、角は二つの弧の和の半分になります。弧から少し内側に入ったところでは、約71.6°になります。反対に外側では差の半分となり、約51.4°に減少します。円周は、角が広くなるか狭くなるかを分ける境界線なのです。

   $$\text{inside: }\frac{1}{2}\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}+\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)=71.6^{\circ }>60^{\circ }>51.4^{\circ }=\frac{1}{2}\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}-\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)\text{: outside}$$

5. これでキックの立ち位置が決まります。ラグビーのゴールポストの間隔は 5.6 m です。手前のポストから 10 m 離れた位置でトライを決めたとすると、後退線の起点から二本のポストまではそれぞれ 10 m と 15.6 m 離れていることになります。これらのポストを同じ角で見込む点はすべて、二本のポストを通る一つの円の上に並びます。

   $$a=10\mathrm{m},b=15.6\mathrm{m},\tan \angle =\frac{(b-a)x}{x^2+ab}$$

6. 後退線上の各点は、そのような円のどれか一つに必ず乗っています。見込む角が最大になるのは、後退線に届く最も小さな円、すなわち接する円の上に立ったときです。起点から接点までの線分は接線であり、その長さは割線を構成する二つの部分の幾何平均になります。つまり、x² = 10 × 15.6 = 156 です。

   $$x^2=FA\cdot FB=ab=156⟹x^{\ast }=\sqrt{156}=12.49\mathrm{m}$$

7. したがって x = √156 = 12.49 m となり、このときの角は 12.64° です。10 m の位置では 12.34° ですが、20 m では 11.39° に下がり、30 m では 9.04° にまで小さくなります。

   $$\tan {\angle }_{\max }=\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}=\frac{5.6}{24.98}=0.2242\Rightarrow 12.64^{\circ };\angle (10)=12.34^{\circ },\angle (20)=11.39^{\circ },\angle (30)=9.04^{\circ }$$