相似三角形ラボ

三辺を決めて、倍率を動かしてください。角度は止まったまま、辺は k 倍、面積は k × k 倍になります。

計算例 — 相似三角形ラボ

辺	3, 4, 5 → 6, 8, 10
周の長さ	12 → 24 (×2)
面積	6 → 24 (×4)
角度	36.87°, 53.13°, 90.00° — 変わらない
中に収まる小さい三角形の個数	4

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

高さが 2 倍なら、塗料は 4 倍 🖖

多くの人が犯す算数の間違いのうち、最も高くつくものです。しかも、間違っているのは計算ではありません。図形を2倍に拡大しても、同じものが二つ分になるわけではなく、四つ分になります。直径が2倍のピザは、元のピザ4枚分です。写真の幅を2倍にすれば、画素数は4倍必要になります。縮尺1:2の模型に必要な材料は、半分ではなく4分の1です。kを整数にすると、その事実が図で確かめられます。大きな三角形が、実際に含まれる小さな三角形に分割されるので、自分で数えられます。

なぜちょうど k² 個なのか 🖖

拡大した三角形の各辺を k 等分し、その目盛りを三辺に平行な直線で結びます。すると隙間なく敷き詰められ、どの片ももとの三角形と合同になります。その数は k² 個で、いちばん下の段に k 個並びます。この議論のどこにも、もとの三角形がどんな形だったかは出てきません。だから細長い三角形でも 3-4-5 と同じ 16 になります。ユークリッドは一般の結果を『原論』第 6 巻命題 19 でこう述べています。「相似な三角形は、対応する辺の二重比をなす」— この「二重比」が、比の 2 乗を指す彼の言い方です。

タレスが行ったとされる測量 🖖

棒とその影で一つの三角形、木とその影でもう一つの三角形ができます。太陽は十分に遠いので光線は平行に届き、二つの三角形の角は等しく、したがって辺は比例します。こうして、誰も届かない高さが、誰でも歩いて測れる三つの長さに変わります。ピラミッドを影から測る方法はこれがすべてで、たすき掛けの格子で埋めるのと同じ四角です。3 対 4 は、木対 20 に等しい。この格子を単なる裏技ではなく正当なものにしているのが、相似三角形です。

全プロセスの詳細解説

拡大図の中に元の3-4-5の三角形がいくつ収まるか 5 ステップ
3-4-5の直角三角形のすべての辺を2倍にしても、面積は2倍にならない。各量がどのように変化するか、そして元の三角形が拡大図の中に何個収まるかを求める。
1. 3つの辺すべてを同じ倍率で拡大しても三角形の相似性は保たれ、6-8-10 も依然としてピタゴラスの定理を満たす。この関係式は辺に関して同次であるため、当然そうなるはずである。
  
  $(3, 4, 5) \times 2 (6, 8, 10), 6^{2} + 8^{2} = 100 = 1 0^{2}$
2. 周長は長さの和であるため、同じ倍率で変化する。12は24になる。
  
  $P : 12 \to 24 = k P, A : 6 \to 24 = k^{2} A$
3. 面積は2つの長さの積であるため、倍率の2乗で変化する。6は24になる。これはここでの周長と同じ数値であるが、この特定の辺の組合せによる偶然の一致であり、単一の例から推論すべきではない好例である。
4. 角はまったく変化しない。角は辺の比率のみに依存し、拡大縮小を行ってもすべての比率は不変である。これこそが相似の意味するところである。
  
  $tan^{- 1} \frac{3}{4} = 36.8 7^{\circ}, tan^{- 1} \frac{4}{3} = 53.1 3^{\circ}, 9 0^{\circ} — unchanged$
5. したがって、拡大図の中には元の三角形が4個収まる。実際に確かめることができる。2倍に拡大された三角形は、元の三角形と合同な4つの三角形に分割される。
  
  $\frac{A ^{'}}{A} = k^{2} = 4 ⟹ 4 copies tile the enlargement$
解答

ツールに表示される辺の長さは6、8、10、周の長さは12 → 24、面積は6 → 24です。角度は変わらず、元の図形4個が収まります。規則は簡潔です。長さはk倍、面積はk²倍、体積はk³倍、角度はk⁰倍になります。指数は、測っている量の次元に一致します。だから、レシピで型の大きさを2倍にすると底面積は4倍になり、ケーキはうまく焼けません。動物の背丈が2倍になると、骨の断面積が4倍なのに対して体重は8倍になるため、脚にかかる応力は2倍になります。単に元の姿を大きくしただけでは成り立たないのです。倍率を3にすると、面積は9倍になります。

$P \propto k, A \propto k^{2}, V \propto k^{3}, angles \propto k^{0}$

学習の道すじ

三角形の公式は、どこから来るのか

この次にピタゴラスの定理相似比です。図形を拡大すると長さはすべて k 倍になり、角度はひとつも動きません。ピタゴラスの定理は、まさにこの事実から、直角三角形を自分自身の小さな複製二つに切り分けることで証明されます。

参考文献 (3)

Equal angles give proportional sides: Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4 — "In equiangular triangles the sides about the equal angles are proportional." David E. Joyce's edition, Clark University.
The area result, and the phrase "duplicate ratio": Euclid, Elements, Book VI, Proposition 19 — "Similar triangles are to one another in the duplicate ratio of the corresponding sides." David E. Joyce's edition, Clark University.
Thales and the shadow measurement: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, "Thales of Miletus", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews — which sets out the ancient reports of the pyramid measurement and their disagreements.

42Math チーム · 更新 2026-08-11

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例題

2 倍にする - 辺 3, 4, 5 は 6, 8, 10 になります。周の長さは 12 から 24 へ 2 倍。ところが面積は 6 から 24 へ、4 倍です。大きい三角形は、小さい三角形ちょうど 4 個に分割して描かれます。
棒と木 - 高さ 3 m の棒の影が 4 m、木の影が 20 m。同じ太陽、同じ三角形なので、木の高さは 15 m。ただし面積は 5 倍ではなく 25 倍です。
正三角形 - k が何であれ、三つの角は 60° のままです。辺 6 は 9 に、周の長さ 18 は 27 になり、面積は 2.25 倍になります。
半分に縮める - 縮小は同じ規則を逆に使うだけです。各辺を半分にすると周の長さは 48 から 24 へ半分に、面積は 96 から 24 へ 4 分の 1 になります。
細長い三角形 - 形とは角度のことで、見た目のことではありません。この細い三角形も普通の三角形とまったく同じように拡大されます。辺は ×4、面積は ×16、中には 16 個入ります。