単位円エクスプローラー

単位円で sin, cos & tan を視覚化

初期値 — 単位円エクスプローラー

角度	45

上のコントロールを変えると、ここから結果が計算し直されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

タンジェントは実在する直線にちなむ名前 🖖

垂直な直線 x = 1 を引いてみてください。円とただ一点で接します。だからこそこれは接線です。次に角 θ の半径をその直線まで延ばすと、ちょうど高さ tan θ のところに届きます。60° では半径は (0.5000, 0.8660) を通り、(1, 1.7321) まで伸びます。このツールが tan 60° として表示する 1.7321 と同じ値です。この線分が関数の名前の由来であり、発散の理由もここにあります。θ が 90° に近づくと半径は直線と平行になり、二度と交わりません。だから表示は数値ではなく +∞ になります。

座標こそが答えになる場所 🖖

単位円とは、原点を中心とする半径 1 の円にすぎません。任意の角度 θ を選ぶと、それが円と交わる点の座標はちょうど (cos θ, sin θ) になります——半径が 1 なので、拡大縮小はいっさい不要です。ピタゴラスの恒等式 cos²θ + sin²θ = 1 は、実は距離の公式を装ったものにすぎず、どの点も中心からちょうど 1 単位の距離にあります。

サインという語は「胸」を意味する 🖖

サイン(sine)という名は、誤訳の化石です。インドの数学者は半弦を ardha-jyā と呼び、アラビアの学者はそれを jiba と音写しましたが、母音を書かず jb と記しました。後世の読者はこれを「胸・ひだ・入り江」を意味する jaib と取り違え、ラテン語の翻訳者は「衣のひだ」を表す sinus を選んだのです。sin θ と書くたび、何世紀も前の書き写しの誤りを呼び起こしています。

単位円 — どの角の族か、そして符号を決めるのは何か

あなたは単位円のどのケースにいますか？

半径 1 の円ひとつが三角法のすべてを担っています。角 θ の点の座標が (cos θ, sin θ) である、というのは結論ではなく定義そのものです。問われる角のほとんどは三つの族のどれかに属します。45° の対角線、正三角形から切り出した 30° と 60° の対、そして軸の上に乗る四つの角。第 1 象限の外にあるものは、そのどれかに符号がついただけです。

45° — 正弦と余弦が等しくなる二等辺の場合 sinθ = cosθ = √2/2

30° と 60° — 同じ三角形の二通りの読み方 sinθ = cos(90° − θ)

軸の上 — 一方の座標が 0 になり、正接が壊れる cosθ = 0 ⇒ tanθ → ±∞

第 1 象限の先へ — 大きさは繰り返し、変わるのは符号だけ ±f(θ′), θ′ = θ − 180°

45° — 正弦と余弦が等しくなる二等辺の場合

わかっていること: 直角の半分。点は対角線 y = x の上にあるので、二つの座標は等しくならざるをえず、tan θ = 1 です。

値: sinθ = cosθ = √2/2

計算例: θ = 45° → sin θ = cos θ = √2/2 ≈ 0.7071、tan θ = 1

このケースを開く: 45°

45° — 正弦と余弦が等しくなる二等辺の場合. 45° の点はちょうど対角線の上にあり、二つの座標はどちらも √2/2 です。直角の半分。点は対角線 y = x の上にあるので、二つの座標は等しくならざるをえず、tan θ = 1 です。 — 45° の点はちょうど対角線の上にあり、二つの座標はどちらも √2/2 です。

30° と 60° — 同じ三角形の二通りの読み方

わかっていること: 正三角形の半分は辺が 1、1/2、√3/2 です。どの長さが正弦でどれが余弦かは、どちらの鋭角に立つかだけで決まります。

値: sinθ = cos(90° − θ)

計算例: θ = 30° → sin θ = 1/2 = 0.5、cos θ = √3/2 ≈ 0.8660、tan θ = 1/√3 ≈ 0.5774。60° では初めの二つが入れ替わります。

このケースを開く: 30°

30° と 60° — 同じ三角形の二通りの読み方. 30° の点は低く右寄りにあり、60° では同じ二つの長さが役割を交換します。正三角形の半分は辺が 1、1/2、√3/2 です。どの長さが正弦でどれが余弦かは、どちらの鋭角に立つかだけで決まります。 — 30° の点は低く右寄りにあり、60° では同じ二つの長さが役割を交換します。

軸の上 — 一方の座標が 0 になり、正接が壊れる

わかっていること: 0°、90°、180°、270° は点を軸の上に置くので、二つの座標のうち一方はちょうど 0 になります。

値: cosθ = 0 ⇒ tanθ → ±∞

計算例: θ = 90° → sin θ = 1、cos θ = 0、そして tan θ = sin θ / cos θ には値がまったくありません

このケースを開く: 90°

軸の上 — 一方の座標が 0 になり、正接が壊れる. 90° では点は円の頂上にあります。高さ 1、幅 0、そして正接はありません。 0°、90°、180°、270° は点を軸の上に置くので、二つの座標のうち一方はちょうど 0 になります。 — 90° では点は円の頂上にあります。高さ 1、幅 0、そして正接はありません。

第 1 象限の先へ — 大きさは繰り返し、変わるのは符号だけ

わかっていること: 90° を超えても座標は、横軸まで戻した参照角のときと同じ大きさを保ちます。どちらが負になるかは象限が決めます。

値: ±f(θ′), θ′ = θ − 180°

計算例: θ = 180° → sin θ = 0、cos θ = −1。また sin 210° = −sin 30° = −0.5 です。210° の参照角は 30° で、第 3 象限にあるからです。

このケースを開く: 180°

第 1 象限の先へ — 大きさは繰り返し、変わるのは符号だけ. 半回転で点は (−1, 0) に来ます。各象限の符号は円のまわりに記してあります。 90° を超えても座標は、横軸まで戻した参照角のときと同じ大きさを保ちます。どちらが負になるかは象限が決めます。 — 半回転で点は (−1, 0) に来ます。各象限の符号は円のまわりに記してあります。

全プロセスの詳細解説

45° でのサインのみを用いた π の下界 5 ステップ
45° で表示されている正弦のみを用いて π の下限を求めよ。これは初期状態である θ = 45°、すなわち正弦と余弦が等しくなる二等辺の場合である。
1. 45° は第 1 象限を 2 等分するため、点は直線 y = x 上に位置し、2 つの座標は同じ値になる。したがって、円の方程式に残る未知数は 1 つだけとなる。
  
  $x = y, x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow 2 x^{2} = 1 \Rightarrow sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2} = 0.7071$
2. 恒等式の行はその円の方程式を変形したものであり、45° は第 1 象限においてそれを 2 つの等しい半分に分割する唯一の角である。また、2 つの等しい数の比である正接（タンジェント）が正確に 1 となる唯一の角でもある。
  
  $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 0.5000 + 0.5000 = 1, tan 4 5^{\circ} = \frac{0.7071}{0.7071} = 1.0000$
3. 円に内接する正八角形は、中心で交わる 8 つの合同な三角形からなり、それぞれ長さ 1 の 2 辺とその間の 45° の角を持つ。そのような三角形の面積は ½ab sin C で与えられるため、画面上に表示されている正弦こそが、八角形が必要とする唯一の量である。
  
  $A_{8} = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot sin 4 5^{\circ} = 4 \times 0.70711 = 2.82843$
4. 単位円の面積は π であるため、これら 2 つの面積の比は、八角形が円のどれだけの割合を占めているかを示している。8 つの辺を持つ正八角形では、円の面積の約 10 分の 1 が外側に残される。
  
  $\frac{A _{8}}{π} = \frac{2.82843}{3.14159} = 0.9003$
5. 辺の数を 2 倍にするには半角の正弦が必要であり、半角の公式によって、すでに表示されている余弦からそれを求めることができる。その後、同じ ½ab sin C を用いて 16 角形を処理する。
  
  $sin 22. 5^{\circ} = \frac{1 - cos 4 5 ^{\circ}}{2} = 0.146447 = 0.38268 \Rightarrow A_{16} = 8 sin 22. 5^{\circ} = 3.06147$
解答

ツールは sin 45° = cos 45° = 0.7071、tan 45° = 1.0000、アンド恒等式を 0.5000 + 0.5000 = 1 と出力する。これらの 4 桁の小数は、八角形の面積を 2.8284 へと導き、角を 1 回半減させると 16 角形の面積を 3.0615 へと導く。これらは両方とも、単なる推定量ではなく下限値である。円の内側に描かれた多角形が、円以上の面積を囲い込むことはできないからである。辺の数を倍にし続けると、不足分は毎回約 4 分の 1（9.97%、2.55%、0.64%、0.16%）に縮小する。そのため、アルキメデス自身が計算した 96 角形はこの面積法によって 3.1394 を与えるが、これは小数第 2 位までしか正確ではない。この約 4 分の 1 という減少率こそが、この手法が最終的に放棄された理由である。正確な桁数を 1 桁増やすごとに、およそ 2 回の倍加が必要となり、倍加のたびに手計算で平方根を求める必要があるからである。

$A_{n} = \frac{n}{2} sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n} ↗ π : A_{8} = 2.8284, A_{16} = 3.0615, A_{32} = 3.1214, A_{96} = 3.1394$

学習の道すじ

三角形の公式は、どこから来るのか

この次に座標幾何あらゆる角度に対する正弦・余弦・正接です。正接がまったく値を持たない角度も含みます。直線の傾きはその傾斜角の正接ですから、最後のステップが垂直な直線について傾きを表示しないのは、tan 90° が姿を変えたものにすぎません。

参考文献 (3)

The reference definitions of sine and cosine, and their periodicity: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §4.14 — Trigonometric Functions: Definitions and Periodicity.
Where sine and cosine stopped being ratios in a triangle and became functions of a number: L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Volume I. Lausanne, 1748.
The radian as an SI unit, and why an angle in it is a ratio of two lengths: Bureau International des Poids et Mesures, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019.

42Math チーム · 更新 2026-08-17

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例題

0° - 半径はx軸に沿って水平に伸びているので、端点は(1, 0)です。cosが1なのは、x座標そのものが余弦だからです。ここでは半径と直線x = 1がx軸上で交わるため、tanは0になります。
30° - 正三角形を半分にした形です。この値を誰もが覚えることになるのは、そのためです。一辺が単位長さの正三角形を中央で二分すると、短い辺の長さはちょうど半分になります。したがってsin 30°は近似値ではなく、厳密に0.5です。
45° - sinとcosが等しくなる唯一の角です。三角形が二等辺三角形で、点が直線y = x上にあるからです。tanはちょうど1なので、延長した半径は、円周上の点と同じ高さで接線と交わります。
60° - 30°のときと同じ、正三角形を半分にした図形を上下逆に見たものです。値の役割がすべて入れ替わり、先ほどのcosが今度はsinになります。tanは√3まで伸びるため、半径は円を大きく越えてから直線x = 1と交わります。
90° - 半径は真上を向き、直線x = 1とはまったく交わりません。tanが定義されないことの幾何学的な意味は、ここにあります。90°に小さい側から近づくと表示値は際限なく大きくなり、最後の一歩で突然破綻するわけではありません。
180° - 半回転すると点は(−1, 0)へ移り、cosは初めて負になります。一方、sinは再び0です。tanもまた0となり、tan = 0を与える二つの角は円の正反対の位置にあります。
270° - 円を四分の三周した(0, −1)では、sinが最小値に達します。半径は真下を向き、再び直線x = 1と平行になるので、ここはtanが定義されない二つ目の角です。この二つの角はちょうど半回転だけ離れています。これは円の周期ではなく、tanの周期です。