2次元固有ベクトルエクスプローラー

パネルは固有値をあなたの代わりに導きます。トレース、行列式、判別式、そして 3 と 1。その道筋はすべて飛ばしましょう。まず行列を眺めて固有ベクトルのほうを見つけ、それを使ってツールにはまったくできないこと——変換を 10 回適用すること——をやってみます。

1. この行列は対称で、対称性がどこを見ればよいかを教えてくれます。対角方向を試すと、A は (1, 1) を (3, 3) へ送ります。同じ矢印が 3 倍の長さになっただけです。つまり (1, 1) は固有方向で、3 がその固有値。掛け算 1 回、特性多項式は不要です。

   $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2+1\\ 1+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$

2. もう一方の対角も試します。A は (1, −1) をもとの位置にそのまま残すので、これが 2 つ目の固有方向、固有値は 1 です。2×2 行列に独立な方向は 2 つしかないので探索は終わり——そしてこの組は、パネルが表示する値と一致します。

   $$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-1\\ 1-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$

3. 2 つは直交していますが、これは偶然ではありません。対称行列の固有方向は必ず直交します。次の段はまさにこの事実を使います。基底変換を逆行列ではなく転置で戻せるようになるからです。

   $$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=1\cdot 1+1\cdot (-1)=0$$

4. 両方を長さ 1 に正規化し、Q の列に並べます。列が正規直交なら Qᵀ は Q の逆行列になり、A は「回転・軸方向の伸縮・回転を戻す」という 3 段に分解されます。

   $$Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),\Lambda =\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right),A=Q\Lambda Q^{\mathsf{T}},Q^{\mathsf{T}}=Q^{-1}$$

5. ここが取り分です。この分解を自分自身に掛け合わせると、内側の QᵀQ はすべて単位行列に潰れ、残るのは Q と対角行列の n 乗と Qᵀ だけ。対角行列のべき乗は各成分のべき乗にすぎません。そもそも対角化する理由はこれです。

   $$A^n={\left(Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}\right)}^n=Q{\Lambda }^n{Q}^{\mathsf{T}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{3}^n+1& 3^n-1\\ 3^n-1& 3^n+1\end{array}\right)$$

6. n = 10 とおきます。働くのは 3¹⁰ だけです。もう一方の固有値は 1 で、1 は何乗しても 1 のままなので、最初とまったく同じだけ寄与します。

   $$n=10:3^{10}=59049⟹A^{10}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}59050& 59048\\ 59048& 59050\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}29525& 29524\\ 29524& 29525\end{array}\right)$$

7. 同じ分解は、行列だけでなく任意の矢印に何が起きるかも語ります。矢印を 2 つの固有方向に分解すると、1 回の適用ごとに一方は 3 倍され、他方はそのまま。つまり両者の比は毎回 3 倍ずつ変わります。

   $$v=c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)⟹\frac{c_2\cdot 1^n}{c_1\cdot 3^n}=\frac{c_2}{c_1}{3}^{-n},3^{-10}=\frac{1}{59049}$$