2次元固有ベクトルエクスプローラー

トレースと行列式は固有値を大域的に制約し、固有ベクトルは不変な部分空間を定める。両者を合わせることで、線形写像の最小限の動的な指紋が形成される。

行列をほとんどのベクトルに作用させると、まったく新しい向きへ振れてしまいます。固有ベクトルはその例外で、自分の直線上にとどまります。変換はそれらをある数、すなわち固有値の分だけ伸縮させ、ときに180°反転させるだけです。具体的には、緑の固有ベクトルの直線上にベクトルを置くと、どの変換でもその直線に沿ったまま。これらの直線こそ、写像の変わらない骨格なのです。

同じ発想がGoogle初期のPageRankを支えています。ウェブ全体を一つの巨大なリンク行列とみなすと、各ページの順位は本質的に支配的な固有ベクトル、つまり延々と続くランダムなクリックの後にも残る唯一の不変方向に相当します。ここで2Dで動かしているのは、かつて数十億ページにわたって行われた計算のミニチュア版です。固有ベクトル中心性は、ソーシャルネットワークでの影響力もまったく同じ方法で測ります。