行列変換ビジュアライザー

2×2行列を入力して、それが座標平面をどう変換するか見てみよう。

計算例 — 行列変換ビジュアライザー

det(A)	1.0000
tr(A)	2.0000
固有値	1.000, 1.000
面積比	1.0000

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

行列式がゼロなら情報が失われる 🖖

行列式は面積の拡大率であるだけではありません。その値は、その変換をそもそも元に戻せるかどうかも教えてくれます。負なら平面が裏返ったということで、時計回りに描いた図形は反時計回りになって出てきます。ゼロなら平面全体がただ 1 本の直線に押しつぶされたということで、これは致命的です。無数の異なる出発点が同じ行き先に重なってしまうため、それらを元の場所へ送り返せる規則は存在しません。行列式が 0 の行列に逆行列がないのは、まさにこのためです。押しつぶすことは、線形写像にできることのうち唯一、取り消せない操作なのです。

列がすべてを語る 🖖

2×2 行列は、実は2本の矢印への指示にすぎません。第1列は矢印 (1, 0) がどこへ移るかを、第2列は (0, 1) がどこへ移るかを示します。直線は直線のまま、格子も等間隔のままなので、この2つの行き先が他のすべての点の行き先を決めます。変換を予測したければ、列を読むだけでよいのです。

回転にはお気に入りの方向がない 🖖

伸縮やせん断では、少なくとも1本の直線が元の向きを保ちます。それが固有ベクトルです。ところが純粋な回転はすべての方向を傾けるため、実数の固有ベクトルを1つも持ちません。その固有値は複素数の対 cos θ ± i·sin θ になります。これはまさに複素数を掛けるときの e^iθ であり、平面を回転させることと絶対値1の複素数を掛けることは同じ操作なのです。

線形写像 — 掛ける前に 2×2 行列を読む

この行列は平面に何をするのか

どの 2×2 行列も平面全体を一度に動かします。その方法は列が語ります。第 1 列は (1, 0) の行き先、第 2 列は (0, 1) の行き先です。行列式は面積と向きに何が起きたかを告げ、固有ベクトルは入ったときと同じ向きで出てくる方向を名指しします。次の五つの型でほとんどが説明できます。

回転 — すべての向きが回り、伸び縮みはない [cosθ −sinθ; sinθ cosθ]

拡大縮小 — 各軸がそれぞれの倍率で伸びる [k₁ 0; 0 k₂], det = k₁k₂

せん断 — 一本の直線だけが動かず、残りが滑る [1 k; 0 1], det = 1

鏡映 — 平面が鏡の線で裏返る det = −1

特異 — 平面が一本の直線につぶれる det = 0

回転 — すべての向きが回り、伸び縮みはない

わかっていること: 列は互いに直交する単位ベクトルで、第 2 列は第 1 列を反時計回りに 90° 回したもの。det = +1 なので面積も向きもそのまま。

行列: [cosθ −sinθ; sinθ cosθ]

計算例: θ = 45° → [0.707 −0.707; 0.707 0.707] → (1, 0) は (0.707, 0.707) へ移り、長さはすべて元のまま

この型を開く: 45°回転

回転 — すべての向きが回り、伸び縮みはない. 単位正方形は大きさも形も保ち、45° 傾いて到着する。列は互いに直交する単位ベクトルで、第 2 列は第 1 列を反時計回りに 90° 回したもの。det = +1 なので面積も向きもそのまま。 — 単位正方形は大きさも形も保ち、45° 傾いて到着する。

拡大縮小 — 各軸がそれぞれの倍率で伸びる

わかっていること: 行列は対角行列で、非対角成分はどちらも 0。各軸はそれぞれの数で掛けられ、det = k₁·k₂ が面積倍率になる。

行列: [k₁ 0; 0 k₂], det = k₁k₂

計算例: [2 0; 0 0.5] → x は 2 倍、y は半分 → det = 2 × 0.5 = 1 なので、形は変わっても面積は変わらない

この型を開く: 拡大縮小

拡大縮小 — 各軸がそれぞれの倍率で伸びる. 正方形は長方形になる。幅は 2 倍、高さは半分、面積は同じ。行列は対角行列で、非対角成分はどちらも 0。各軸はそれぞれの数で掛けられ、det = k₁·k₂ が面積倍率になる。 — 正方形は長方形になる。幅は 2 倍、高さは半分、面積は同じ。

せん断 — 一本の直線だけが動かず、残りが滑る

わかっていること: 対角成分はどちらも 1 で、非対角成分はちょうど一つだけ 0 でない。det = 1 なので面積は保たれるが、剛体運動ではない。

行列: [1 k; 0 1], det = 1

計算例: [1 1; 0 1] → (1, 0) は動かず、(0, 1) は (1, 1) へ滑る → 正方形は同じ面積の平行四辺形に傾く

この型を開く: せん断

せん断 — 一本の直線だけが動かず、残りが滑る. 底辺は固定、上辺はずれる。底辺も高さも同じなので面積も同じ。対角成分はどちらも 1 で、非対角成分はちょうど一つだけ 0 でない。det = 1 なので面積は保たれるが、剛体運動ではない。 — 底辺は固定、上辺はずれる。底辺も高さも同じなので面積も同じ。

鏡映 — 平面が鏡の線で裏返る

わかっていること: det = −1。大きさ 1 は面積が保たれることを、負号は向きが逆転することを表す。

行列: det = −1

計算例: [−1 0; 0 1] → (1, 0) は (−1, 0) になり (0, 1) はそのまま → すべての点が y 軸で鏡に映される

この型を開く: 反転

鏡映 — 平面が鏡の線で裏返る. 正方形は鏡の向こう側に着き、頂点の順序が逆になる。 det = −1。大きさ 1 は面積が保たれることを、負号は向きが逆転することを表す。 — 正方形は鏡の向こう側に着き、頂点の順序が逆になる。

特異 — 平面が一本の直線につぶれる

わかっていること: det = 0。二つの列は互いの定数倍で、同じ一本の直線の方向を向いている。この行列に逆行列はない。

行列: det = 0

計算例: [1 2; 0.5 1] → det = 1·1 − 2·0.5 = 0 → 平面全体が直線 y = x/2 に落ち、方向 (2, −1) は原点へつぶれる

この型を開く: 特異

特異 — 平面が一本の直線につぶれる. 正方形に面積は残らない。すべての点が原点を通る一本の直線上にある。 det = 0。二つの列は互いの定数倍で、同じ一本の直線の方向を向いている。この行列に逆行列はない。 — 正方形に面積は残らない。すべての点が原点を通る一本の直線上にある。

全プロセスの詳細解説

同一の固有値を持つ単位行列とせん断行列 5 ステップ
単位行列とせん断行列は、同じ行列式、同じトレース、そして同じ固有値のペアを出力します。上の4行はどちらの行列でも完全に一致しています。これらを分離するのに失敗したまさにその固有値のメカニズムを用いて、それでも両者が異なる行列であることを証明しなさい。
1. どちらも行列式は1、トレースは2である。単位行列についてはこれは明白である。せん断行列については、これが実質的な意味を持っている。すなわち、高さに比例して平面を横方向に滑らせる操作はすべての面積を保存するため、図の平行四辺形は大きさを変えずに形だけが変化する。
  
  $I = (1001), S = (1011) : det = 1, tr = 2$
2. 特性多項式はまさにこれら2つの数値から組み立てられるため、特性多項式によっても両者を分離することはできない。どちらも(λ − 1)²となり、1に重根を持つ。2つの異なる行列でありながら、スペクトルは1つである。
  
  $λ^{2} - (tr A) λ + det A = λ^{2} - 2 λ + 1 = (λ - 1)^{2} ⟹ λ = 1, 1$
3. 固有値はほとんどの講義で到達点とされる。固有ベクトルこそが、この2つを分かつ場所である。単位行列の場合、A − λI は零行列となるため、この方程式は平面上のすべてのベクトルによって満たされる。
  
  $(I - λ I) v = 0 : 0 v = 0 for every v ⟹ ker = R^{2}$
4. せん断行列の場合、A − λI には1つの成分だけが残り、それが y = 0 を強制する。固定されるのは水平軸のみであり、平面ではなく直線である。
  
  $(S - λ I) v = (0010) (x y) = (y 0) = 0 ⟹ y = 0$
5. その違いには名前と結果が存在する。せん断行列の固有値は代数的重複度が2であるのに対し、幾何的重複度は1であり、これにより行列は欠損行列となる。固有ベクトルの基底が存在しないため、対角化することができない。単位行列の累乗が静止したままであるのに対し、せん断行列の累乗は一次関数的に増大していく。
  
  $dim ker (I - λ I) = 2 \neq = dim ker (S - λ I) = 1, S^{n} = (10 n 1)$
解答

ツールが出力するすべての数値 — det = 1.0000, tr = 2.0000, λ = 1.000, 1.000 — は両方の行列で共有されている。b を1に設定すると、グリッドが目に見えて滑る一方で表示値が変化を拒む様子を観察できる。不変量が不完全なのは偶然ではない。行列式とトレースは2つの数値であり、2×2行列は4つの成分を持つため、どこかで2つの自由度が失われなければならない。不変量に見えないのは固有空間の次元（2対1）であり、それこそが Aⁿ が留まるか無限に増大するかを決定するものである。「固有値を求めよ」という指示がそれだけで終わらないのはそのためである。

$det, tr, λ all agree; dim ker (A - λ I) = 2 vs 1 does not$

学習の道すじ

ものを動かす行列

この次に固有ベクトル他のすべてを読み解くための鍵。行列の各列ベクトルは基底ベクトルが移動した先であり、行列式は変換後にそれらが囲む面積であるという事実。そして行列式がゼロになることが意味する、平面が直線へと潰されて二度と復元できなくなった状態。

参考文献 (1)

The memoir that made a matrix an object with an algebra of its own, rather than a way of writing a system down: A. Cayley, "A memoir on the theory of matrices." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 148, 17–37, 1858.

42Math チーム · 更新 2026-07-27

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

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例題

45°回転 - det(A) = 0.9997。1 ではありません。回転なら面積は厳密に保たれるはずで、10000分の3のずれは入力した 0.707 に由来し、幾何のせいではありません
せん断 - det(A) = 1.0000、固有値は 1.000, 1.000。面積は変わらず、固有値が重なるため不変な方向は1つしか残りません
拡大縮小 - 2倍に伸ばし 0.5倍に潰すと det(A) = 1.0000。すべての長さを変えて、面積は変えないスケーリングです
反転 - det(A) = −1.0000。面積は同じで、向きだけが逆になります。固有値 1.000 と −1.000 は鏡映軸とその法線です
特異 - det(A) = 0.0000 でページは SINGULAR と表示します。固有値 0.000 は平面が押し潰される方向です