行列変換ビジュアライザー

行列表換は究極の線形演算子であり、せん断、スケーリング、回転行列を通じてデカルト平面を歪めます。行列式は面積のスケールファクターを計算し、固有ベクトルは回転偏差から完全に免疫を保ちます。

2×2 行列は、実は2本の矢印への指示にすぎません。第1列は矢印 (1, 0) がどこへ移るかを、第2列は (0, 1) がどこへ移るかを示します。直線は直線のまま、格子も等間隔のままなので、この2つの行き先が他のすべての点の行き先を決めます。変換を予測したければ、列を読むだけでよいのです。

伸縮やせん断では、少なくとも1本の直線が元の向きを保ちます。それが固有ベクトルです。ところが純粋な回転はすべての方向を傾けるため、実数の固有ベクトルを1つも持ちません。その固有値は複素数の対 cos θ ± i·sin θ になります。これはまさに複素数を掛けるときの e^iθ であり、平面を回転させることと絶対値1の複素数を掛けることは同じ操作なのです。