三角形の中心とオイラー線

どの頂点でもよいのでドラッグしてみてください。四つの中心のうち三つは決して赤い線から離れず、残る一つは三角形が二等辺三角形になったときにのみ、その線上に乗ります。

計算例 — 三角形の中心とオイラー線

重心 G	(2.667, 1.667)
外心 O	(3.000, 1.700)
垂心 H	(2.000, 1.600)
内心 I	(2.491, 1.687)
HG : GO	2.000
直線からの内心の距離	0.0372

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レッスン

理論 — 三角形の中心とオイラー線

三角形の中心 とは、描かれた紙によってではなく、三角形そのものによって決定される点のことです。三角形を移動させたり、回転させたり、拡大縮小したりすると、その点も連動して動きます。そのうちの四つは古くから知られており、それぞれが特定の三本の線が交わる点として定義されています。三つの中線の交点が重心、各辺の垂直二等分線の交点が外心、三つの垂線の交点が垂心、そして三つの角の二等分線の交点が内心です。これら四つのケースすべてにおいて、三本の線が一点で交わるということ自体が、すでに一つの定理なのです。

各記号の意味

G: 重心。三つの頂点の平均値であり、この点で三角形の重さが釣り合います。
O: 外心。三つの頂点すべてから等距離にあるため、これらを通る外接円の中心となります。
H: 垂心。三本の垂線が交わる場所です。四つの中心の中で唯一、自分自身の円を持ちません。
I: 内心。三つの辺すべてから等距離にあり、常に三角形の内部に存在し続ける唯一の中心です。

成り立たない場合: このページが何も語ることができない唯一の例外、それが正三角形です。四つの中心すべてが同じ一点に重なってしまうため、そこを通るあらゆる直線が四つの中心をすべて含むことになり、オイラー線を一本に特定することができません。そのため、ここではいずれかを選ぶ代わりに「線なし」と表示します。

何の共通点もない三つの作図、そして一本の直線 🖖

重心は三本の中線が交わる点です。外心は三本の垂直二等分線が交わる点です。垂心は三本の垂線が交わる点です。これらはまったく異なる三種類の直線であり、それぞれの定義は他の二つと関わりを持ちません。

好きなところへ頂点をドラッグしてみてください。これら三つの点は動きながらも、常に一本の直線上に並び続けます。

重心は常に他の二つの間にあり、その位置関係も一定です。つまり、HGは正確にGOの二倍の長さになります。どのようにドラッグしても、HG : GO の値は常に 2.000 です。オイラーがこれを発見したのは 1763 年のことで、論文は 1767 年に発表されました。それ以来、この直線は彼の名で呼ばれています。

二つの辺が等しいときにだけ招かれる内心 🖖

四つ目の中心は、角の二等分線が交わる点です。これだけが常に三角形の内部に存在します。だからこそ内接円を描くことができるのですが、同時にこの点はオイラー線が通らない中心でもあります。

少なくとも、通常は通りません。下のグラフは、選択した頂点を横にスライドさせたときの、直線からの内心の距離を描いたものです。このページを開いた最初の三角形において、曲線は五回だけゼロに接します。その一つ一つの点が、二辺が等しい三角形を表しています。一つは頂点Cが辺ABの中点の真上に来たとき、二つはCAが伸びてABと等しくなったとき、そして残りの二つはCBがABと等しくなったときです。

条件はこれですべてです。二等辺三角形には対称軸があり、すべての中心はその軸上に乗らなければなりません。そしてオイラー線もまた、その軸そのものになるのです。

ちょうど 90° のとき、一つの中心は辺の上に、もう一つは頂点に重なる 🖖

鋭角三角形の場合、四つの中心はすべて内部に留まります。ひとつの角を 90° より大きく広げると、二つの中心が揃って外へ飛び出します。外心と垂心が、それぞれ反対側へと離れていくのです。

その中間の瞬間は、立ち止まって観察する価値があります。直角三角形 を押してみてください。外心 O の行は (2.000, 1.500) になります。これは (4, 0) から (0, 3) へと引かれた斜辺の中点です。そして 垂心 H の行は (0.000, 0.000) になり、直角の頂点そのものと一致します。一つは辺の上に、もう一つは頂点に。どちらも同じ瞬間に境界線上に重なるのです。

内心が決して外へ出ることはありません。三角形の内側にぴったりと収まる円の中心が、他の場所にあるはずがないからです。

全プロセスの詳細解説

誰も引かなかった線 6 ステップ
頂点が A = (0, 0)、B = (6, 0)、C = (2, 5) の三角形があります。それぞれの定義から重心、外心、垂心を求め、これら三点が同一直線上にあることを示しなさい。さらに、重心が他の二点を結ぶ線分をどのような比で分割するかを求めなさい。

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1. まずは重心から求めましょう。これには幾何学の知識が不要だからです。中線は各頂点の座標の平均値で交わるため、G = ((0 + 6 + 2)/3, (0 + 0 + 5)/3) = (8/3, 5/3) となります。重心 G の表の値は (2.667, 1.667) を示します。
  
  $G = \frac{A + B + C}{3} = (\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 0 + 5}{3}) = (\frac{8}{3}, \frac{5}{3})$
2. 外心は、三つの頂点すべてから等距離にある点です。AとBから等距離にあるという条件から、水平な線分の垂直二等分線である x = 3 の上に乗ります。さらにAとCから等距離にあるという条件から 3² + y² = (3 − 2)² + (y − 5)² が得られます。両辺の y² を打ち消し合うと 9 = 1 + 25 − 10y となり、10y = 17 から y = 1.7 が導かれます。したがって O = (3, 1.7) となり、外心 O の値と一致します。
  
  $3^{2} + y^{2} = (3 - 2)^{2} + (y - 5)^{2} \Rightarrow 9 = 26 - 10 y \Rightarrow y = 1.7, O = (3, 1.7)$
3. 垂心を求めるには二本の垂線が必要ですが、さきほどの計算結果は使いません。Aからの垂線はBCに直交します。BCの方向ベクトルは C − B = (−4, 5) なので、垂線上のすべての点は −4x + 5y = 0 を満たします。一方、Bからの垂線は方向ベクトルが (2, 5) であるACに直交し、点 (6, 0) を通るため、方程式は 2(x − 6) + 5y = 0 になります。一つ目の式から得られた y = 4x/5 を二つ目に代入すると 2x − 12 + 4x = 0 となり、x = 2 と y = 1.6 が導かれます。つまり H = (2, 1.6) です。
  
  $- 4 x + 5 y = 0, 2 (x - 6) + 5 y = 0 \Rightarrow 6 x = 12 \Rightarrow H = (2, 1.6)$
4. さて、ここからが本題です。OからGへのベクトルは (8/3 − 3, 5/3 − 17/10) = (−1/3, −1/30) であり、OからHへのベクトルは (2 − 3, 1.6 − 1.7) = (−1, −1/10) となります。二つのベクトルが平行になるのは、その外積がゼロになるときです。計算すると (−1/3)(−1/10) − (−1/30)(−1) = 1/30 − 1/30 = 0 となります。丸め誤差などを一切含まず、分数の計算だけで完全にゼロになることがわかります。
  
  $(G - O) = (- \frac{1}{3}, - \frac{1}{30}), (H - O) = (- 1, - \frac{1}{10}), (- \frac{1}{3}) (- \frac{1}{10}) - (- \frac{1}{30}) (- 1) = 0$
5. 二つ目のベクトルは一つ目の正確に三倍の大きさです。したがって、Oからの距離を比べると、HはGの三倍遠くに位置し、Gはその二点の間に存在することになります。これにより、HGの長さはGOの二つ分であることがわかります。実際の距離で確認してみましょう。GO = √(1/9 + 1/900) = √101/30 = 0.334996 であり、HG = √(4/9 + 1/225) = √101/15 = 0.669992 となります。HG : GO の値が 2.000 になるのは、割り算の過程で √101 が丸められることなく、きれいに約分されるからです。
  
  $GO = \frac{101}{30}, H G = \frac{101}{15}, \frac{H G}{GO} = 2$
6. 四つ目の中心がここに加わることはありません。a = |BC| = √41、b = |CA| = √29、c = |AB| = 6 とおくと、内心は (aA + bB + cC)/(a + b + c) = (2.491, 1.687) として計算できます。直線からの内心の距離の値は 0.0372 です。小さな値ですが、ゼロではありません。頂点Cを x = 3 の位置までドラッグしてみてください。三角形が二等辺三角形になるため、この値は 0.0000 になります。
  
  $I = \frac{a A + b B + c C}{a + b + c}, a = 41, b = 29, c = 6 \Rightarrow I = (2.491, 1.687)$
解答

ぴったり 2 です。そして、描くことのできるどんな三角形でも正確に 2 になります。重心は、垂心と外心を結ぶ線分の単なるどこかにあるわけではなく、常にその三分の二の道のりに位置しています。このツールが教えてくれないのは、その「理由」です。頂点をドラッグして確かめるのは証拠にはなっても、証明にはならないからです。最も簡潔な証明は、外心を原点と仮定して |A| = |B| = |C| = R と置き、P = A + B + C という一点に注目する方法です。ここで P − A = B + C となり、内積を取ると (B + C)·(C − B) = |C|² − |B|² = 0 となるため、点PはAからの垂線上に存在することがわかります。同様の計算によって、点Pは残る二つの垂線上にも存在することが示され、結果としてPが垂心であることが導かれます。重心は P/3 であり、原点からPまでの道のりの三分の一の場所にある点です。そしてその原点こそが外心だったのです。

$H - O = 3 (G - O) ⟹ \frac{H G}{GO} = 2$

参考文献 (3)

The paper the line is named after, in which Euler works out all four centres in coordinates and then notices that three of them are collinear: L. Euler, "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum." Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 11 (for 1765), printed 1767, pp. 103–123. Euler Archive E325; reprinted in Opera Omnia I.26, pp. 139–157.
The nine-point circle, the fifth point this page draws and the one with the longest list of claimants: K. W. Feuerbach, Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks. Wiessner, Nürnberg, 1822.
A modern textbook treatment of the four centres and the line, at the level this page is pitched: H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry Revisited. Mathematical Association of America, New Mathematical Library 19, 1967, chapter 1.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。