角度の追跡

定理を一つずつ使い、印のついた角度を求めましょう。

計算例 — 角度の追跡

連鎖のステップ数	2
使用した定理	2
確定済み	5 / 6
この角への別のアプローチ	6通り、1手から3手まで
条件	30°

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レッスン

理論 — 角度の追跡

角度の追跡とは、すでに求めた角を利用しながら、名前のついた定理を一つずつ適用し、図形上の印のない角を求めていく演習です。用いられる規則は幾何の授業で教わる少数の決まったものだけであり、そのどれもが未知の角に対する一次方程式になっています。たとえば三角形の内角の和はa + b + c = 180、対頂角はa = bといった具合です。だからこそ、こうした計算は常に消去法によって答えを導くことができます。そして本当に興味深いのは、角が何度であるかではなく、答えを導き出せるだけの十分な情報が図形に与えられているかどうか、そして答えを出すまでにどれほどの手順を踏む必要があるのかということなのです。

各記号の意味

180°: あらゆる三角形の内角の和、および直線の片側を満たす角度
360°: 点の周りの角度
rank: 与えられた条件と定理によって、図形の未知の角度が実際にいくつ確定するか

前提: 矛盾なく描かれた平面図形。ここにあるすべての図形は、最初に角度を選んでから座標を決定して構築されています。そのため、偶然にあり得ない図形になってしまうことはありません。これは手書きの教科書の図形にはない保証です。

図形全体を解かなくても、答えを出すことができます 🖖

1ステップをクリックし、Pinned down（確定済み）と書かれたカードを読んでください。「6つのうち4つ」とあります。図形には六つの未知の角度があり、与えられた条件と定理によってそのうちの四つが確定します。二つは自由なままです。チェバ線は辺BC上のどこにでも引くことができ、与えられた条件は何も変わりません。求められている角度は、それに影響されず確実です。行き詰まった時の感覚はどちらの場合も全く同じなので、この違いはじっくり考える価値があります。∠ADBを求められない読者は、途中の手順を見落としています。しかし、∠BADを求められない読者は何も見落としていません。なぜなら、その角度にはここで求めるべき値が存在しないからです。未知数の数と定理によって確定する数を比べることで、これら二つの状況を一瞬で区別できます。そして、ただ答えを探し求めるだけでは決してわからない「そもそも答えが存在するのか」という問いに答えることができるのです。

九つの法則。そのうちの一つを繰り返すからこそ、追跡は長くなるのです。 🖖

このツールが作り出す手順はすべて、九つの法則の組み合わせでできています。三角形と四角形の内角の和、一直線上の角、対頂角、一点の周りの角、二等辺三角形の底角、平行線の錯角と同位角、そして分割された角を再び足し合わせる法則です。八つの図形のうち七つにおいて、一つの手順内で同じ法則が二度使われることは滅多にありません。四角形では皆無で、交差図形でも0.0%、三分割された三角形でさえ4.7%にとどまります。しかし、階段の図形だけは例外です。実に手順の30.1%で、何らかの法則が三回以上登場するのです。八手まで長引く図形もこれだけですが、その理由は全く同じです。一つの角度を端から端へ、曲がり角のたびに錯角と一直線上の角を繰り返しながら運んでいくため、自然と手順が長くなります。この長さは難しさから来るものではなく、単なる道のりの長さなのです。

計算が長引くのは大抵、あなたではなく問題のせいです 🖖

図形には触れずに、別のパズル を何度か押してみてください。問われる角は同じままで、最初に与えられる角だけが変わることがよくあります。階段の図形では、∠A0A1A2 を導き出す方法は 32 通りあります。最短なら一手で済みますが、最長だと八手かかります。図形も、求める角も、30° という答えもすべて同じです。ここにある八つの図形全体を見ると、手数の差が二手以上になる角は 63.0% にのぼり、三手以上違うものも 32.8% あります。ですから、角度の計算が長引いたとしても、それは皆さんの解き方が悪いのではなく、問題でどの角が与えられたかによる場合がほとんどです。そして、画面に表示されている角が何であれ、この角への別のアプローチ と書かれたカードにはそれら二つの数字が記載されています。自分の解き方を誰かと比べることには価値があり、同時に、違いを気にする必要がないのはこのためです。手数が大きく異なる二つの正しい解法が存在するのは、ごく日常的なことなのです。

全プロセスの詳細解説

同じ角を求めるための一手、あるいは八手 5 ステップ
階段の図において、∠A0A1A2は30°です。この角を二度求めてみましょう。一度目は計算が容易になる角から、二度目はそうではない角からです。そして、その解法の長さの違いが何を示しているか考えてみてください。平行線に挟まれた階段 を選び、∠A0A1A2を求める問題が出るまで 別のパズル を押してください。

この問題をツールで開く
1. 答えはこうした条件に左右されません。この図において∠A0A1A2は30°であり、どんな条件を与えられようと30°のままです。問題が作られる前に、すでに図形が完成しているからです。
  
  $∠ A_{0} A_{1} A_{2} = 3 0^{\circ}$
2. A1の左右にある二つの角が与えられている場合、直線上の引き算を一回行うだけで簡単に答えが出ます。下の平行線より下側にあるA1の三つの角の和は180°であり、そのうち二つが既知だからです。
  
  $from ∠ N A_{1} A_{0} = 3 0^{\circ} and ∠ A_{2} A_{1} M = 12 0^{\circ} : 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$
3. 同じ角を求めるのに、A0、A2、A3の角が一つずつ与えられ、A1には何の条件もない困難な場合もあります。このとき、一つひとつの角から経路をたどってA1に到達しなければなりません。これには八つの手順を要します。しかもそのうち三回は平行線をまたぐ計算になります。
  
  $from ∠ A_{1} A_{0} R, ∠ A_{3} A_{2} A_{1}, ∠ A_{2} A_{3} M : eight steps, three of them across the parallels$
4. どちらの解法がより優れているというわけではありません。両者を分けているのは、問題がどの角を条件に選んだかということだけです。この図形では同じ目標の角に対して32通りの条件の選び方があり、最短で一手、最長で八手かかります。
  
  $what the question handed you both angles at A_{1} one angle at each of A_{0}, A_{2}, A_{3} steps 18$
5. この程度のばらつきは珍しいものではありません。ここに挙げた八つの図形全体を見ると、手数の差が二手以上になる角は 63.0% にのぼり、三手以上違うものも 32.8% あります。
  
  $32 ways in, 1 \leq steps \leq 8$
解答

解法の長さは問題に起因するものであり、解く人の能力を示すものではありません。これを理解しておくことには実用的な意味があります。計算が長引いたときの適切な対応は、図の中の他の角を先に求める方が簡単ではないか確認することであり、近道を見落としたと思い込むことではありません。長さが全く異なる二つの正しい解答が存在するのはごく自然なことであり、一方が間違っている兆候ではないのです。また、答えの数値だけでなく計算過程を評価する採点者が、いかに困難な役割を担っているかが分かる理由でもあります。

$same figure, same angle, same 3 0^{\circ}$

参考文献 (3)

The angle sum, which is the rule every chain on this page leans on hardest: Euclid, Elements, Book I, Proposition 32. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
Vertical angles, the rule that is the only bridge between the two halves of the crossing: Euclid, Elements, Book I, Proposition 15. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
The equal base angles, which is where the chase stops and the algebra starts: Euclid, Elements, Book I, Proposition 5 (the pons asinorum). D. E. Joyce (ed.), Clark University.

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