コンパスと定規による作図

正17角形を押して、作図の過程を見てみましょう。この作図では41個の円と30本の直線を引きます。そして十七の頂点は、小数第十五位まで等間隔に配置されます。カール・フリードリヒ・ガウスは1796年、十八歳のときにこれが可能であることを発見し、自分の墓石に刻んでほしいと願ったと言われています。彼は、n が 2 の累乗と互いに異なるフェルマー素数（現在知られているのは 3, 5, 17, 257, 65537 です）の積であるときに限り正n角形が作図可能であることを示しました。そして1837年には、ピエール・ヴァンツェルがそれ以外の n では不可能であることを証明しています。次になぜ正7角形は不可能なのかを押してください。七は素数ですが、フェルマー素数ではありません。折りたたまれた表には 3 から 100 までのすべての n が記載されていますが、作図できるのはそのうちの 24 個だけです。正9角形も、3 が二度現れるため作図できません。

90°の三等分を押してください。30°は正三角形の角の一つであり、五つの操作で直角を三つに分割できます。次に60°の三等分を押します。この角の三分の一は20°ですが、cos 20°は三次方程式 8c³ − 6c − 1 = 0 の根となります。コンパスと定規が作り出せるのは、四則演算と平方根によって到達できる長さだけです。そして有理数の係数を持ち有理根を持たない三次方程式には、平方根でたどり着ける根は存在しません。表では八つの有理数の候補をすべて確認していますが、どれも根にはなりません。ヴァンツェルは同じ1837年の論文でこの証明を発表し、ギリシャ人たちが二千年間未解決のままにしていた問題に終止符を打ちました。このページで扱う 3° の整数倍の角について言えば、ある角を三等分できるのはそれが 9° の倍数であるときだけです。

ユークリッドの第三公準は、ある点を中心として別の点を通る円を描くことのみを認めています。これは現代の言葉で言えば、紙から離した瞬間に閉じてしまうコンパスであり、ある場所から別の場所へ距離を移すことができません。致命的な制限に思えますが、彼の第二命題はそうではないことを示しています。いくつかの円と直線を加えれば、どんな長さでも写し取ることができるからです。角の写し取りを開き、固定式コンパスと折りたたみ式コンパスを切り替えてみてください。この記録では全く同じ作業を行うのに、固定式では 3 個の円と 1 本の直線を使い、折りたたみ式では 11 個の円と 5 本の直線を使います。一方のコンパスで作図できるものはすべて、もう一方でも作図可能です。忘れっぽいコンパスは、それぞれの作図の手順を長くするだけなのです。