文章題：物語から方程式へ

硬貨の入った瓶を押し、方程式を書いてみましょう。枚数については x + y = 21、金額については 0.10x + 0.20y = 2.90 です。次に濃度の異なる溶液を押します。液量については x + y = 45、溶質の量については 0.25x + 0.60y = 20.7 です。まったく異なる二つの話ですが、方程式の形は同じです。全体量を表す式と、各部分を一単位当たりの値で重み付けして同じ全体を表す式になります。二種類の料金の入場券や、二種類の利率での投資もこの型です。代数的な扱いはどれも同じ。違うのは、何をどの値で重み付けしているかを問題文から見抜くところです。

二人で進める仕事を押してください。一人が4 h、もう一人が10 h働く場合にも、6 hと5 h働く場合にも仕事が終わります。一人で終える時間を未知数にすると、式は 4/A + 10/B = 1 となり、一次方程式ではありません。一時間当たりに行う仕事の割合、つまり仕事率を未知数にすれば、4x + 10y = 1 と 6x + 5y = 1 になり、x = 1/8、y = 1/20 が得られます。ところが、問われているのは一人で終えるのに必要な時間です。答えは逆数の8 hと20 hであって、1/8と1/20ではありません。次に追いつくまでを押し、ヨナスの時間に、レナ用の文字を割り当ててみましょう。連立方程式そのものはきれいに解けます。それでもページには、xとyを入れ替えた場合にだけ問題文に合うと表示されます。求めた答えが、二人の時間を逆に割り当てているからです。

決して一致しない料金を押してください。ジムAの入会金は€25、ジムBは€55で、月額はどちらも€19です。消去すると未知数を含む項がすべて消え、0 = −30が残ります。ジムBの式を先に書けば 0 = 30 です。初日からある€30の差は、何か月たっても縮まりません。次に同じ料金の二つの表し方を押します。ジムBの6か月分の料金€166は、ジムAの入会金€10に月額€26の六か月分を加えた金額とぴったり一致し、その後の月額もどちらも€26です。消去すると0 = 0になり、二つの方程式が同じ直線を表すことが分かります。ただし、ジムBの式が表すのは6か月目以降の料金だけです。したがって、6か月目以降のどの月も答えになることは、消去法ではなく問題文から判断します。一次連立方程式がただ一つの解をもたないのは、条件が矛盾する場合と、独立した条件が足りない場合です。どちらにも、問題文に即した明確な理由があります。