等式の変形

円の面積が 78.54 cm² です。半径を求めてください。そして、代数の役割がどこで終わり、あなた自身の判断がどこから始まるのかを正確に説明してください。

1. まずは与えられた公式から始めます。Aが単独で置かれ、rは2乗の中に埋もれています。

   $$A=\pi r^2$$

2. 外側から順に処理していきます。rに対して一番外側で行われている計算はπの掛け算なので、まずは両辺をπで割ります。

   $$\frac{A}{\pi }=r^2$$

3. 次は2乗です。これを外すことで、入力に対して出力が一つに定まらなくなります。だからこそ、単なる平方根ではなく±がつくのです。

   $$r=\pm \sqrt{\frac{A}{\pi }}$$

4. ここでの ± は重要な働きをしています。+5 も −5 も2乗すると 25 になるため、どちらも方程式 r² = 25 の正しい解です。方程式は、r が何を意味するのかを知らないのです。

   $$(+5{)}^2=25=(-5{)}^2$$

5. 数値を代入します。すると r = ±5 cm となりますが、半径は長さなので答えは 5 です。この文は代数ではありません。問題全体の中で、文字の意味を理解していなければならなかったのはこのステップだけです。

   $$r=\pm \sqrt{\frac{78.54}{\pi }}=\pm 5$$

6. 順方向に計算して確かめましょう。これが唯一意味のある確認方法です。元の公式に 5 を戻し、元の面積になるかを確認します。

   $$\pi (5{)}^2=78.54✓$$

7. そして、背景が変われば何が変わるのかに注目してください。ある基準線より上か下の高さを表す h² = 25 という同じ式なら、両方の答えが残ります。時間を表す t² = 25 という同じ式なら、時計の開始時点が違っていた場合にのみ −5 が残ります。これら三つのケースで、代数の計算は全く同じです。しかし、答えの捨て方は同じではありません。

   $$h^2=25\Rightarrow h=\pm 5(\text{both})$$

C = 5(F − 32)/9 から F を目的の文字にし、沸騰した水で確かめてください。そのうえで、温度計が両方の目盛りで同じ数字を示すことがあり得るかどうかを判断しましょう。

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1. F は三重に埋もれています。括弧の中、5 を掛ける中、9 で割る中です。外側から剥がしていくので、まず 9 が外れます。

   $$C=\frac{5(F-32)}{9}$$

2. 両辺に 9 を掛け、次に 5 で割ります。三手のうちの二手で、どちらもまだ括弧には触れていません。

   $$9C=5(F-32)⟹\frac{9C}{5}=F-32$$

3. 32 を足すと F が単独になります。三手、これがパネルの数える手数です。確認のカードは 100 °C を並べ替えた式に戻し、212 を得ます。

   $$F=\frac{9C}{5}+32;C=100:\frac{900}{5}+32=180+32=212$$

4. ここで、この手法が受け付けない問いに移ります。両方の目盛りが同じ値を示す場所を問うことは F = C と置くことであり、文字が両辺に現れます。剥がしていく先がもう残っていないため、ツールが立ち止まるのはこの状況です。

   $$F=C:C=\frac{9C}{5}+32$$

5. ここでは両方の出現が一次なので、一つにまとめられ、剥がす作業がまた始められます。答えは −40 で、確かめもつきます。9(−40)/5 + 32 は −72 + 32 です。

   $$C-\frac{9C}{5}=32⟹-\frac{4C}{5}=32⟹C=-40$$

6. 同じまとめ方が一般の場合にも答えます。華氏が摂氏のちょうど 2 倍になるのは 160 °C、すなわち 320 °F です。k = 1.8 では分母が消えて答えは存在しません。二本の直線が平行で、華氏は 1.8 × 摂氏より永久に 32 だけ先を走るからです。

   $$F=kC:C=\frac{32}{k-1.8};k=2⟹C=160,F=320$$