一次方程式

あるタクシーの初乗り運賃は4で、1マイル走るごとに3かかります。別のタクシーの初乗り運賃は10で、1マイルごとに1かかります。両者の運賃が等しくなるのはどの距離でしょうか。また、もし問題の設定を少し間違えた場合、代数の計算はどうなるでしょうか。

1. 両方の運賃を、同じ未知数を用いた式で表します。この未知数は二つの式でまったく同じ対象を指していなければなりません。文章題で行き詰まる場合、代数の計算を始める前のこの段階に原因があることがほとんどです。

   $$4+3x10+1x$$

2. それらを等号で結べば、モデル化のステップはすべて完了です。それ以降は、単なる機械的な作業にすぎません。

   $$4+3x=10+x$$

3. xの項をまとめます。両辺からxを引く操作は数学的に正しく、逆の操作も可能であるため、方程式の解が影響を受けることはありません。

   $$4+2x=10$$

4. 定数項をまとめ、xの係数で割ります。距離は3マイルとなり、そのときの運賃はどちらも13になります。

   $$2x=6\Rightarrow x=3\Rightarrow 4+9=13=10+3$$

5. 今度は、わざと間違った設定にしてみましょう。もし、二つ目の会社も1マイルごとに3かかるとします。xの項は打ち消し合って消え、4 = 10という誤った式が残ります。つまり、両者の運賃が一致する距離は存在せず、片方が常もう一方より6だけ高いということです。

   $$4+3x=10+3x\Rightarrow 4=10\Rightarrow \varnothing$$

6. そして、もし二つ目の会社も初乗り運賃が4で、1マイルごとに3かかるのであれば、同じように項が消えて4 = 4となります。これはすべての距離において成り立つ真の式です。要するに、二つの運賃はまったく同じものを二度書いたにすぎないのです。

   $$4+3x=4+3x\Rightarrow 4=4\Rightarrow x\in \mathbb{R}$$

7. ここから先は代数の手を離れ、私たちが自ら判断を下す領域です。これら三つの結果はどれも、正しく設定された問題に対する数学的に正しい答えであり、ツールはそれを忠実に報告します。しかし、計算結果が負の値になった場合、それが「出発前に運賃が逆転していた」ことを意味するとは教えてくれません。あるいは、距離が分数になったとして、現実のタクシーはそのような半端な単位では利用できないかもしれません。方程式は、xが現実世界で何を意味するのかを知らないのです。

   $$x=-2\Rightarrow x\notin [0,\infty )$$

5x − 2 = 3x + 8 を解いてみましょう。両辺にxがあるため、一つにまとめるまでは何も分かりません。

1. まずxの項をまとめます。右辺から3xを引くなら、左辺からも3xを引きます。これでもxについての方程式が意味する内容は変わりません。

   $$5x-2=3x+8|-3x$$

2. これで左辺は2x − 2になりました。xから数字を切り離すために、両辺に2を足します。

   $$2x-2=8|+2$$

3. xの二つ分が10ですから、一つ分は5になります。

   $$2x=10|÷2⟹x=5$$

4. 出た答えは、最後の方程式ではなく、最初の方程式に代入して確かめましょう。両辺とも23になるので、x = 5は元の式を満たしています。

   $$5(5)-2=23,3(5)+8=23$$

5. 必ずしも左辺にまとめる必要はありません。代わりに両辺から5xを引いてみると、−2 = −2x + 8となります。見た目は違いますが、同じくx = 5という解が得られます。どちらの辺にまとめるかは自由ですが、答えは一つに決まります。

   $$5x-2=3x+8|-5x⟹-2=-2x+8⟹2x=10$$

4x + 9 = x − 6 を解いてみましょう。最後の行で答えがゼロより小さくなるまでは、特に変わったところはありません。

1. 両辺からxを引き、xの項を左辺にまとめます。

   $$4x+9=x-6|-x$$

2. 両辺から9を引き、数字を消去します。

   $$3x+9=-6|-9$$

3. xの三つ分が−15なので、一つ分は−5です。答えにマイナスの記号がついたからといって、どこかで間違えたわけではありません。

   $$3x=-15|÷3⟹x=-5$$

4. 元の式で確かめてみましょう。左辺は −20 + 9 = −11、右辺は −5 − 6 = −11 となります。両辺が一致したので、間違いなく−5が解です。

   $$4(-5)+9=-20+9=-11,(-5)-6=-11$$

5. −5が意味のある答えかどうかは、xが何を表していたかによって決まります。気温であればごく普通の火曜日のことかもしれませんが、チケットの枚数であれば全く意味を成しません。方程式にはその違いが分からず、警告してはくれません。

   $$x=-5\Rightarrow \text{5 tickets short of none}$$

6x + 1 = 2x + 4 を解いてみましょう。これまでと同じように三つの手順を踏みますが、今回は整数にはなりません。

1. 両辺から2xを引きます。

   $$6x+1=2x+4|-2x$$

2. 両辺から1を引きます。

   $$4x+1=4|-1$$

3. xの四つ分が3なので、一つ分は3を4で割った値、つまりちょうど0.75になります。

   $$4x=3|÷4⟹x=\frac{3}{4}=0.75$$

4. 元の式で確かめましょう。6 × 0.75 + 1 = 5.5、そして 2 × 0.75 + 4 = 5.5 となります。

   $$6(0.75)+1=5.5,2(0.75)+4=5.5$$

5. 四分の三は、たまたま小数でぴったり表せる数でした。しかし三分の二は違います。3x + 1 = 3 を解くと答えは2⁄3になり、小数で書き切ることは不可能です。分数こそが正解であり、0.6667はその近似値に過ぎません。

   $$3x+1=3⟹x=\frac{2}{3}=0.6667\dots$$

3(x + 4) = 24 を解いてみましょう。数学的に正しいルートが二つありますが、手間は同じではありません。

1. 括弧は (x + 4) が三つあることを示しています。まず両辺を3で割れば、括弧はそのまま外れます。x + 4 = 8 となり、x = 4 です。

   $$3(x+4)=24|÷3⟹x+4=8⟹x=4$$

2. あるいは、先に展開する方法もあります。(x + 4) の三つ分は 3x + 12 です。それから両辺から12を引き、3で割ります。同じように x = 4 となります。

   $$3(x+4)=3x+12=24|-12⟹3x=12⟹x=4$$

3. 元の式で確認します。3 × 4 + 12 = 24 となります。ツールは ax + b = cx + d の形式で方程式を受け取るため、展開した後の式が必要になります。

   $$3(4)+12=24$$

4. 先に割るルートが短く済んだのは、24が3で割り切れたからです。24を25に変えて同じ手順を踏むと、x + 4 = 25⁄3 となります。これも正解ですが、少し煩雑なルートになってしまいました。

   $$3(x+4)=25⟹x+4=\frac{25}{3}⟹x=\frac{13}{3}$$

プランAは月額£8に加えて、ギガバイトにつき£2かかります。プランBは月額£12に加えて、ギガバイトにつき£2かかります。両方の料金が等しくなるのは何ギガバイトのときですか。

1. 使ったギガバイト数をxとしてそれぞれの料金を式に表し、それらを等号で結びます。これが「料金が等しくなる」という意味です。

   $$A:2x+8B:2x+12$$

2. 両辺に2xがあるので、両方から2xを引きます。

   $$2x+8=2x+12|-2x$$

3. xが消えて 8 = 12 となりましたが、これは成り立ちません。これを満たすxの値は存在しないため、二つのプランの料金が一致することは決してないのです。

   $$8=12\text{— false, for every }x$$

4. ここで有益なのは、方程式が行き詰まった理由そのものです。つまり、どんなxでもプランBはプランAよりも£4高くなります。両者は同じペースで増えていくため交わることはなく、常に£4の差が保たれます。

   $$(2x+12)-(2x+8)=4\text{at every }x$$

あるお店の料金は 2(x + 3) です。別のお店の料金は 2x + 6 です。どちらの方が安くなるでしょうか。また、それは何冊のときですか。

1. まず一つ目の式を展開してみましょう。(x + 3) の二つ分は 2x + 6 になります。これは、もう一つのお店が提示している式と全く同じです。

   $$2(x+3)=2x+6$$

2. これらを等号で結び、両辺から2xを引くと 6 = 6 になります。これは正しい式であり、xが何であっても成り立ちます。

   $$2x+6=2x+6|-2x⟹6=6$$

3. つまり、どんな数を入れても成立します。0、1、7、−100を試してみても、毎回両辺は一致します。

   $$x=0,1,7,-100\text{all true}$$

4. これは特筆すべき事実です。二つの価格の差は小さいのではなく、どんなxのときでも完全にゼロなのです。二つのお店は、一つの価格を二通りに書いただけでした。

   $$2(x+3)-(2x+6)=0\text{identically}$$

ベンはミアの三倍の年齢です。八年後には、彼はミアの二倍の年齢になります。二人は今何歳ですか。

1. ミアの今の年齢をxとします。するとベンの今の年齢は3xになります。八年後には、ミアは x + 8、ベンは 3x + 8 になります。

   $$\text{Mia }=x,\text{Ben }=3x$$

2. 「ミアの二倍の年齢」というのは、今の年齢ではなくその時の年齢の二倍を意味します。この読み取り方こそが最大の難関なのです。式は 3x + 8 = 2(x + 8) となり、展開すると 3x + 8 = 2x + 16 になります。

   $$3x+8=2(x+8)=2x+16$$

3. 両辺から2xを引き、次に8を引くと x = 8 となります。ミアは8歳で、ベンは24歳です。

   $$3x+8=2x+16|-2x⟹x+8=16⟹x=8$$

4. 計算式だけでなく、話のつじつまが合っているかも確かめましょう。八年後にはミアが16歳、ベンが32歳になり、32は確かに16の二倍になっています。

   $$\text{Mia }8\to 16,\text{Ben }24\to 32,32=2\times 16$$

5. もし今の年齢の二倍だと読み違えてしまうと、式は 3x + 8 = 2x となり、x = −8 になってしまいます。計算自体は正確に行われますが、出てくる答えは「八年後に生まれる女の子」になってしまいます。

   $$3x+8=2x⟹x=-8$$