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理論 — 負の数716語
負の数とは、正の数の加法の逆元です。すなわち、−aとはaに足して0になる唯一の数を指します。負の数に関するその他の性質はすべて、この一文と通常の計算規則のみから導き出せます。
各記号の意味
a- 正か負かを問わず、任意の数。定義はその符号を問わないため、
−(−3) = 3の計算に特別な規則は要りません。 −a- aの加法の逆元。単に「aの前にマイナスを書いたもの」ではなく、「aに何を足せば無になるか」という問いへの答えです。
0- 加法単位元であり、議論全体の軸となる存在です。どんな数に足しても、元の数を変化させない唯一の数でもあります。
公式の導き方
- 正の数だけでなく負の数でも、分配法則
a(b + c) = ab + acが成り立つと仮定します。ここでの前提はこれだけですが、これは重大な選択です。数を拡張したからといって、正の数がすでに満たしている規則を破るわけにはいかないと要求しているからです。 - これを
(−1)(1 + (−1))に適用します。括弧の中は0であり、0には何を掛けても0になるため、式全体は0となります。 - 今度は同じ式を別の形で展開します。
(−1)(1) + (−1)(−1)となり、これは−1 + (−1)(−1)のことです。 - どちらの解釈でも結果は一致しなければならないため、
−1 + (−1)(−1) = 0となります。−1に足して0になる数はただ一つ、+1です。これは誰かが勝手に決めたことではなく、分配法則を成り立たせる値がこれ以外に存在しないのです。
- 前提
- 負の数の計算も正の数と同じ分配法則に従う、ということです。これを放棄すれば、
(−1)(−1) = −1と自由に定義しても構いません。しかしその場合、(−3)((−3) + 1)は(−3)(−2) = −6となる一方で、(−3)(−3) + (−3)(1)は−9 + (−3) = −12となり、一つの式に対する二つの計算結果が一致しなくなります。これが分配法則を手放す代償であり、符号の規則が単なる取り決めではない理由です。
全プロセスの詳細解説
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−18 °Cから−4 °Cに温まる冷凍庫の温度上昇 7 ステップ
冷凍庫の温度が −18 °C です。そこから −4 °C に上がりました。温度は何度上昇したでしょうか。また、よくある二つの間違いとはどのようなものでしょうか。
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ほとんどの人は 14 と答えて正解します。ですからここで興味深いのは、間違えた場合にどのような筋道を辿るのかということです。まずは、温度の変化を通常の引き算の式で書いてみましょう。新しい値から古い値を引きます。
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−18 を引くということは、その反数を足すのと同じです。つまり、式は −4 + 18 となります。
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14 度。よくある間違いは 22 です。これは 18 + 4 のように、両方がゼロからの距離であるかのように絶対値を足してしまうことで起こります。数直線を思い浮かべれば、−18 と −4 がゼロから見て同じ側にあることが一目でわかるため、そのようには考えにくいはずです。
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もう一つのよくある間違いは −22 です。これは、二つの負の符号をどちらも「左へ進め」という指示として扱ってしまった結果です。数の符号と計算の操作を混同してしまっているのです。これらは明確に分けて考える必要があります。
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今度は逆方向で同じ問題を考えてみましょう。−4 から −18 に下がる場合の温度変化は −14 ですが、距離は変わらず 14 のままです。距離と変化は異なる量であり、符号を持つのは変化のほうだけなのです。
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この違いは、掛け算をした瞬間に重要になってきます。温度変化の −14 を二倍にすると −28。反転は一度だけで、温度はさらに下がります。半分にすると −7 になりますが、これも反転は一度だけです。負の符号は温度変化のほうについており、掛ける数にはついていないからです。
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そしてここで、ツールの限界が訪れます。物理的に考えて、−18 °C を二倍にしても −36 °C にはなりません。摂氏におけるゼロ度は便宜上の基準点であり、熱が全くない状態を意味するわけではないからです。温度そのものに数を掛けることには意味がありませんが、温度の変化に数を掛けることは問題ありません。計算式自体は、あなたが今どちらを扱っているのかを教えてはくれないのです。
解答
14 °C の上昇。 式にすると −4 − (−18) = −4 + 18 = 14 となり、すべてのステップはツールに描かれる動きと同じです。22 と −22 というよくある二つの間違いは、いずれも数の符号と計算の方向とを混同することから生じます。
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−3 から 5 へ、そして 8 離れた二つの数 6 ステップ
ダイバーは水面下 3 m、カモメは水面上 5 m にいます。二者の距離を求め、そのうえでその距離だけでカモメを元の位置に戻せるかどうかを判断してください。
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まず捨てるべき直感は、大きさを引くやり方です。5 と 3 だから 2、というものです。
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引き算そのものを見ます。変化は −8 で、これが結果のカードに出る値です。距離はその大きさ、すなわち 8 です。
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8 になるのは、この移動がゼロをまたぐからです。二つの深さは打ち消し合わずに足し合わさります。二つの数がゼロを挟んで反対側にあるときは、距離は必ず大きさの和になります。
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同じ側にあれば引き算になります。冷凍庫が −18 から −4 に温まるとき、変化は 18 − 4 の 14 です。一つの規則に二つの顔があり、どちらの顔が出るかを決めているのは、二つの数の間にゼロがあるかどうかです。
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ここで距離のカードを逆向きに読んでみましょう。表示は 8 で、8 以上のことは何も言っていません。−3 から 8 離れた数は二つあり、それを求める方程式の解が二つになるのは、大きさを取った時点で符号が捨てられたからです。
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二つの答えは、測った基準の点を必ず挟んでいます。その平均が、ちょうどその点になるのです。どの数の組にも距離は一つ、そしてどの距離の背後にも数は二つあります。
解答
8 m です。 ダイバーとカモメはゼロを挟んで反対側にいるので、二つの深さは打ち消し合わずに足し合わさります。同じ 8 を逆向きに読むと、それはカモメを名指ししません。−11 は −3 から 5 とまったく同じ距離にあり、距離のカードには両者の区別がつきません。大きさを取った時点で、符号がそこから抜け落ちているからです。
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学習の道すじ
xについて解く：マイナス記号からの積み上げ
参考文献 (1)
- A Fields Medallist on why the rule that looks like a convention is not one, and why it took so long to accept: D. Mumford, "What's so Baffling About Negative Numbers? — a Cross-Cultural Comparison." In Studies in the History of Indian Mathematics, Hindustan Book Agency, 2010, pp. 113–143.