双曲平面

負の定曲率を持つ平面を、ポアンカレ円板に描きました。三角形を作ってその内角や面積をユークリッド平面のものと比べたり、直線の外に点を置き、そこを通る直線のうちどれが決して交わらないのかを確かめたりできます。円を描いて、その円周を2πrと測り比べることもできます。

計算例 — 双曲平面

辺（この平面における距離）	1.0000, 1.0000, 1.0000
A の内角	52.643°
B の内角	52.643°
C の内角	52.643°
三つの内角の和	157.93°
面積	0.385
πに対する割合	12.26%
同じ辺の長さを持つ平坦な三角形（ヘロンの公式）	0.43

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レッスン

理論 — 双曲平面

双曲平面とは、ガウス曲率が至る所で同じ負の値をとる、完備で単連結な曲面のことです。ここでは K = −1 としているため、長さは曲率半径を単位として、面積はその2乗を単位として測られます。三角形の面積はπから内角の和を引いた値となり、直線の外にある一点を通る直線のうち、元の直線と決して交わらないものが無数に存在します。ポアンカレ円板は、この無限に広がる平面全体を一つの円の内部に描いたものです。直線は境界と直角に交わる円弧として描かれ、角度は実物通りに保たれます。また、境界に向かうにつれて長さの尺度は縮んでいき、境界そのものは無限の彼方となります。

各記号の意味

K: ガウス曲率。この平面上のすべての点で −1
Π(d): 平行角。直線から距離 d にある点を通る直線は、垂線から Π(d) の範囲内にあるときのみ元の直線と交わる

辺がどれほど長くても、面積がπを超える三角形は存在しない 🖖

正三角形（辺の長さ 1）を押してください。これらの辺はこの平面における直線ですが、円板を地図として見立てているため円弧のように描かれています。内角の和は157.93°です。180°に足りない分がそのまま面積になり、180° − 157.93° = 22.07°、ラジアンで表すと0.385となります。次に正三角形（辺の長さ 10）を押してみましょう。それぞれの内角は0.772°まで小さくなり、和は2.32°、面積は3.101（πの98.71%）になります。辺の長さが10の平坦な三角形の面積が43.30であるのとは対照的です。面積はπから内角の和を引いたものであり、内角がゼロを下回ることはないため、辺の長さに関わらずこの平面で面積がπを超える三角形は存在しません。表を見るとその近づき方が分かります。辺の長さが5の時点で既にπの84.41%に達し、20では99.99%になります。三つの頂点が無限の彼方へ遠ざかり、三つの内角がすべて0°になった三角形だけが、ちょうどπの面積を持ちます。

直線の外にある一点を通る、決して交わらない無数の直線 🖖

距離 1 の平行線を押してください。黒い線はこの平面における直線で、点はそこから1の距離にあります。点を通って回転する線を観察してみましょう。この線が黒い直線と交わるのは、垂線に対して左右どちらかに40.395°以内の傾きを持つときだけです。ロバチェフスキーはこの角度を平行角 Π(d) と呼び、1840年に tan(Π/2) = e^−d という式で表しました。ちょうど Π(d) の傾きを持つ二つのピンク色の線は、末端に向かって黒い直線に限りなく近づきますが決して到達しません。そして、残りの99.21°の範囲にあるすべての線も、同じように交わることはありません。ユークリッド幾何学では点を通る平行線は一本しかありませんが、ここでは無数に存在します。距離 3 の平行線を押してみましょう。Π(d) は5.700°まで小さくなり、交わらない方向の範囲は168.60°に広がります。逆に点を直線に近づけると交わらない範囲は狭まり、d = 0.5 では55.05°になります。直線のすぐ近くでは、この平面は紙の上とほとんど同じように振る舞うのです。

円周は指数関数的に増加し、円板の大部分は縁の近くにある 🖖

半径 10 の円を押してください。円周は 2π sinh 10 = 69,198.18 となり、紙の上の 62.83 と比べると 1,101 倍の長さです。内側の面積 2π(cosh 10 − 1) = 69,191.90 もほとんど同じ値になり、そのうち 63.22% が縁から1の距離の範囲に集中しています。中心から遠く離れると、距離が1増えるごとに縁の長さはほぼ e 倍になります。ヘンダーソンとタイミナは、この規則を使って双曲平面の模型をかぎ針編みで制作しました。新しい段ごとに N 個の編み目を N + 1 個に増やすことで、各段が前の段から一定の倍率で長くなっていきます。平坦な布地には収まりきらないほどの長さの縁を持つため、編み物は自然と波打ちながら折り重なります。ガウスの驚異の定理で見た鞍型曲面も、これと同じように縁が長くなっていました。ここで r = 0.5 と入力すると、円環から求めた曲率は −1.0126 になります（この推測値は円環が小さくなる極限でのみ正確になります）。鞍型曲面では同じ半径で曲率が −0.884 でした。鞍型曲面は中心でのみ曲率が −1 でしたが、この平面はどこでも曲率が −1 なのです。

全プロセスの詳細解説

内角だけが分かっている三角形 4 ステップ
この平面上に、内角が 30°、45°、60° の三角形があります。その面積と各辺の長さはいくらになるでしょうか。 紙の上では、この問いに答えを出すことはできません。三角形をどのように拡大しても内角は変わらないからです。まずは正三角形（辺の長さ 1）を押してみてください。画面に内角の和と面積が表示されます。

この問題をツールで開く
1. 表示されている例では、面積はπから内角の和（ラジアン）を引いた値になっています。
  
  $A = π - (A + B + C) = (18 0^{\circ} - 157.9 3^{\circ}) \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} = 0.385$
2. 同じ法則を使えば、この三角形の面積もすぐに求められます。
  
  $A = (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 6 0^{\circ}) \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} = \frac{π}{4} = 0.7854$
3. 辺の長さについては、この平面における第二余弦定理を使います。内角を代入すると辺の長さが導かれます。
  
  $cosh a = \frac{cos 3 0 ^{\circ} + cos 4 5 ^{\circ} cos 6 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ} sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{0 . 866025 + 0 . 353553}{0 . 612372} = 1.991564 \Rightarrow a = 1.3121$
4. 残りの二つの辺も、頂点Bと頂点Cを起点にして同じように求められます。
  
  $cosh b = \frac{cos B + cos C cos A}{sin C sin A} \Rightarrow b = 1.6231, cosh c = \frac{cos C + cos A cos B}{sin A sin B} \Rightarrow c = 1.8131$
解答

面積は π/4 = 0.7854、辺の長さは 1.3121、1.6231、1.8131 になります。 これと同じ内角を持つ三角形は他に存在しません。図形を拡大すると面積が増えるため、内角の和は必ず小さくなるからです。この平面には大きさの異なる相似な三角形は存在せず、三角形の内角自体が、曲率半径という長さの尺度を内包しているのです。

$A = \frac{π}{4} = 0.7854, a, b, c = 1.3121, 1.6231, 1.8131$

学習の道すじ

曲面上の幾何学

参考文献 (2)

The angle of parallelism: through a point at distance p from a line, the lines within Π(p) of the perpendicular cut it and the rest do not, with tan ½Π(x) = e⁻ˣ: N. Lobachevsky, Geometrical Researches on the Theory of Parallels (Berlin, 1840), translated by G. B. Halsted, Scientiae Baccalaureus 1(3), February 1891 (scan at the University of Missouri Digital Library).
A model of the hyperbolic plane crocheted by increasing the stitches from N to N + 1 in every row, so each row is the same factor longer than the last; and the area of an ideal triangle, with all three corners at infinity, equal to π times the square of the plane's radius: D. W. Henderson and D. Taimiņa, "Crocheting the Hyperbolic Plane", The Mathematical Intelligencer 23(2) (2001), 17–28.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。