大円航路

地球儀上の二つの地点を選んでください。このページでは、その二点間の最短ルートを、一定の方位を保つルートと比較しながら飛行します。両方の方位と距離を表示し、さらにナビゲーターが行うように、ルートを複数の区間に分割します。

計算例 — 大円航路

地球の中心から見たAとBのなす角	78.78°
大円 (最短ルート)	8,760.1 km
A出発時の方位	311.7°
B到着時の方位	214.1°
途中の方位変化 (マイナス: 反時計回り)	−97.5°
ルートが赤道から最も離れる地点	62.26° N
メルカトル図法での高さの変化 (等長緯度)	−0.4208
Bに到達する一定の方位	258.4°

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

レッスン

理論 — 大円航路

大円とは、球の中心を通る平面が球の表面を切り取る円のことです。二点間のより短い方の弧が、球面上のその二点間を結ぶ最短経路であり、球における直線のようなものです。等角航路（または斜角航線）はすべての子午線と等しい角度で交わるため、一つのコンパス方位で操舵することができます。メルカトル図法ではこれは直線になります。両地点が赤道上か同一の子午線上にある場合を除き、大円の方が距離が短く、その方位は道中常に変化し続けます。

各記号の意味

σ: 地球の中心から見た二点間のなす角。大円の長さは σ をラジアンとすると Rσ となります
θ: 北から時計回りに測った方位。θ₁ はAの出発時、θ₂ はBの到着時の方位
ψ: 等長緯度。ln tan(45° + φ/2) であり、単位球のメルカトル図法における緯度 φ の高さ
R: 地球の半径。ここでは平均半径の 6,371.0088 km を使用します

前提: 地球の平均半径を持つ球体を想定しています。地球は約 298 分の 1 扁平しており、WGS 84 楕円体上でのロンドン・ヒースロー空港からロサンゼルスへの最短経路はビンセント法で 8,781.1 km となり、球体モデルの 8,760.1 km より 0.24% 長くなります。様々なルートを検証しても、球体モデルの誤差は赤道付近の短い南北ルートで最大で 0.5% 程度です。

南西の都市へ向かうには北西へ出発する 🖖

ロンドンからロサンゼルスを押してください。ロサンゼルスはロンドンから緯度で南に 17.5 度、経度で西に 118 度の位置にあります。ナビゲーターが 258.4° の一定の方位を保てば、9,732.5 km で到着するでしょう。しかし最短ルートは北西の 311.7° で出発し、北緯 62.26° でグリーンランド南部を横断してから、南西を向く 214.1° でロサンゼルスへと降りていきます。その距離は 8,760.1 km であり、972.4 km も短くなります。コンパスのシアン色の針に注目してください。ルート自体は決して左右に曲がらないにもかかわらず、針は 97.5° 振れます。これは「北」という基準のほうが動いているからです。すべての子午線は同一の極に集まるため、大円はそれぞれの子午線と異なる角度で交差します。下の平面地図では、直線のほうが一定方位のルートであり、大円は極に向かって弧を描くことで千キロメートル近く距離を節約しています。

緯線は直線ではない 🖖

マドリードは北緯40.49°、ニューヨークは北緯40.64°に位置しています。そのため、両都市を結ぶ等角航路はほぼ真西（270.2°）に向かって緯線に沿うように進み、その距離は5,930.8 kmになります。一方、大円コースはマドリードを294.7°の方角に出発し、大西洋を北緯46.30°まで北上しながら横断して、169.9 km早く到着します。緯線に沿って進むと直進しているように感じられますが、実際には違います。赤道から離れた緯線は、極を中心として描かれた小円にすぎません。北緯40.49°を保ちながら進むには、100 kmごとに極へ向かって0.768°舵を切り続ける必要があります。もし舵から手を放せば、そのまま大円に沿って南へ逸れていくでしょう。方向修正が不要な緯線は赤道ただ一つです。自らの中心が地球の中心と一致する緯線は、赤道以外には存在しないからです。

ルートが極の近くを通るまでは、区間を二等分すると超過距離は四分の一になる 🖖

オートパイロットが発明されるずっと前から、船は経由地間のいくつかの方位を固定した区間を繋ぎ合わせることで大円を辿っていました。4区間を押してください。299.2°、267.1°、236.5°、219.3° で進むロンドンからロサンゼルスへのルートは、一定の方位を保つルートが大円より 972.4 km 長いのに対し、わずか 74.6 km 長いだけです。表で二等分を進めていくと、972.4、282.0、74.6、18.9、4.8 km となり、その比率は 4 に落ち着きます。その理由は、短い区間の超過距離は区間の長さの三乗に比例して増えるからです。区間を半分にすれば一つあたりの超過分は八分の一になり、区間数は二倍になります。シンガポールからニューヨークを押すと、この法則は成り立たなくなります。そのルートは極から 2.53° の距離を通過しますが、そこでは固定された方位は極を横切るのではなく極の周りを回ってしまいます。そのため、1区間での超過が 3,160.4 km であるのに対し、2区間に分けても依然として 2,976.7 km の超過が生じます。比率は 1.06 から 3.92 に上がり、また 2.27 に戻るなど一定せず、1区間が約 480 km となる 32 区間以降になってようやく比率が 4 に戻ります。

全プロセスの詳細解説

一定の方位を永遠に保つと 4 ステップ
赤道上の一点から北東の 45° の方位で出発し、その方位を決して変えずに進みます。 北極に到達するまでにどれだけの距離を進み、その途中で極の周りを何周するでしょうか？まずロンドンからロサンゼルスを押してください。このページでは等角航路の長さを計算していますが、同じ計算規則でこの問いに答えることができます。

この問題をツールで開く
1. 本ページで算出した、ロンドンからロサンゼルスまでの等角航路の距離を南北と東西の成分に分けたものです（いずれも地球の中心角としてラジアンで測定）：
  
  $d_{r} = R Δ φ^{2} + (q Δ λ)^{2} = 6371.0088 \times 0.30595 6^{2} + 1.49667 8^{2} = 9, 732.5 km$
2. 等角航路上では方位が決して変わらないため、1キロメートル進むごとに北方向へ常に cos θ キロメートル分進むことになります。赤道から極までは子午線の四分の一であり、πR/2 です：
  
  $d = \frac{π R /2}{cos 4 5 ^{\circ}} = \frac{10 , 007 . 56}{0 . 707107} = 14, 152.8 km$
3. もう半分は経度の計算です。等角航路上では tan θ = Δλ/Δψ となるため、45° のとき経度の増加分は等長緯度 ψ の変化量 (ラジアン) と等しくなり、それが 2π 増えるごとに極を一周します。極の手前 1 度の地点で、終点までの螺旋の残りは 157.3 km となります：
  
  $Δ λ = tan 4 5^{\circ} Δ ψ = ψ (8 9^{\circ}) = 4.7413 \Rightarrow n = \frac{4 . 7413}{2 π} = 0.755$
4. しかし ψ は増加し続けます。極の近くでは、ψ は残りの余緯度に対する 2 の比の対数に非常に近くなります。そのため、極への距離が十分の一になるごとに ψ には同じ量が足され、回転数も同じ割合だけ増加します：
  
  $ψ (φ) \approx ln \frac{2}{π /2 - φ} \Rightarrow Δ n = \frac{ln 10}{2 π} = 0.3665$
解答

距離は 14,152.8 km であり、無限に回転し続けます。 螺旋を 1 キロメートル進むごとに北へ 0.707 キロメートル進むため、螺旋全体の長さは子午線の四分の一の √2 倍となり、距離は有限に留まります。一方で ψ には上限がないため回転が終わることはありませんが、それは終盤に細かい回転として現れます。北緯 89° までに 0.755 周し、螺旋の残り距離が 1.573 km となる北緯 89.99° までに 1.488 周します。そこからは距離が十分の一になるごとに 0.3665 周が追加されます。メルカトル図法では極が上方に無限に離れた位置にあるため、その結末を描画することはできません。

$d = 14, 152.8 km, n \to \infty, n (89.9 9^{\circ}) = 1.488$

学習の道すじ

曲面上の幾何学

参考文献 (2)

Geodesics on the Earth: the great circle as the sphere's shortest path, Clairaut's relation sin α₀ = sin α cos β that fixes how the heading changes along one (on a sphere, the sine rule), and the WGS 84 semi-axes this page's mean radius (2a + b)/3 is taken from: C. F. F. Karney, "Algorithms for geodesics", Journal of Geodesy 87(1), 43–55 (2013).
The ellipsoidal distance the lesson compares the sphere with: Vincenty's iterative inverse formula, used here on the WGS 84 ellipsoid for London Heathrow to Los Angeles (8,781.1 km against the sphere's 8,760.1 km): T. Vincenty, "Direct and inverse solutions of geodesics on the ellipsoid with application of nested equations", Survey Review 23(176), 88–93 (1975).

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。