双曲線関数エクスプローラー

双曲線関数と円関数の比較、恒等式の確認、幾何学的な直感。

計算例 — 双曲線関数エクスプローラー

cosh(1)	1.543081
cosh^2(t)-sinh^2(t)	1

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レッスン

理論 — 双曲線関数エクスプローラー

双曲線関数は一本の曲線にちなんで名づけられており、その名前こそが本質である。(cos t, sin t) が円 x² + y² = 1 をなぞるのに対し、(cosh t, sinh t) の組は双曲線 x² − y² = 1 をなぞる——符号を一つ変え、曲線を一つ取り替えただけだ。より難しい問い、そしてこの授業の本当の主題は、円を離れたあとで共通の媒介変数 t が何を意味するのか、である。

各記号の意味

t: 媒介変数。円ではこれを角と呼ぶよう教わった。その読み方は双曲線への移行を生き延びない。正しく置き換えることが段階 3 と 4 の目的である。
cosh t: (eᵗ + e⁻ᵗ)/2、点の x 座標。決して 1 を下回らず、決して振動しない——「余弦」という語が積極的に示唆する二点であり、ここではどちらも偽である。
sinh t: (eᵗ − e⁻ᵗ)/2、y 座標。両方向に非有界で、ゼロになるのは t = 0 のときだけ。
x² − y² = 1: 単位双曲線。このページは結果欄に cosh²t − sinh²t を表示し、常に 1 を示す——その数値がまさにこの方程式であり、名前の理由がそこにある。

公式の導き方

直感が形づくられた場所から始めよう。点 (cos t, sin t) は単位円上にあり、円では媒介変数 t に二つの読み方があって、たまたま同じ数を与える：(1, 0) から進んだ弧長であり、かつ中心から掃いた扇形の面積の二倍である。両者が一致するので誰も選ぶ必要がなく、みな t を角と呼んだまま学校を出る。
ここで符号を一つ変え、x² − y² = 1 上の点を求めよう。cosh t = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2、sinh t = (eᵗ − e⁻ᵗ)/2 を二乗して引くと交差項が打ち消し合い、(e²ᵗ + 2 + e⁻²ᵗ)/4 − (e²ᵗ − 2 + e⁻²ᵗ)/4 = 1 が残る。したがって (cosh t, sinh t) は任意の実数 t に対し構成上この双曲線上にある。これがページの表示する恒等式であり、「双曲線」という語のすべての根拠である。
では円の二つの読み方のどちらが渡ってくるのか。弧長ではない。双曲線に沿って (1, 0) から (cosh t, sinh t) まで進んだ距離は t ではなく、初等的な公式はまったく存在しない——楕円積分であり、どの教科書も書かない理由がこれだ。生き残るのはもう一方、面積である。
その主張を、言い放つのではなく導いておく。双曲線扇形——x 軸、(cosh t, sinh t) への半直線、そして曲線自身で囲まれた領域——は、半直線の下の三角形から双曲線の下の領域を引いたものである。三角形は ½·cosh t·sinh t。もう一方は ∫√(x² − 1) dx = ½(x√(x² − 1) − arcosh x) で、1 から cosh t まで評価すると ½(cosh t·sinh t − t) となる（√(cosh²t − 1) = sinh t、arcosh(cosh t) = t より）。引き算して ½·cosh t·sinh t − ½(cosh t·sinh t − t) = t/2。扇形の面積はちょうど t/2——円とまったく同じ規則である。
したがって正直な言い方は、t は掃いた面積の二倍であり、それは両方の幾何において成り立つ、というものだ。「角」は円に固有の偶然であって、持ち運べない。ここの幾何パネルが二つの点を打ちながら角をまったく描かないのはそのためである：スライダーを動かすと円上の点は一定の角速度で掃くのに対し、双曲線上の点は目に見えてそうならない。両者が共有しているのは背後の面積であって、点のある方向ではない。

表示の読み方

二つのパネルと二つの数。左は選んだ関数の t に対するグラフ、右は幾何で、面白いのはこちらだ——(cos t, sin t) を載せた単位円の隣に、(cosh t, sinh t) を載せた双曲線が並び、どちらも同じスライダーで動く。「円関数と比較」のチェックボックスは円側の相棒を重ねて表示するので、ずれが直接見える。表示のうち注目すべきは二つ目で、cosh²(t) − sinh²(t) はどの設定でも 1.000000 を示す。それは計算結果ではなく、曲線の方程式をそのまま書き直したものだからである。

前提: 実数の t と、双曲線の右枝。cosh t ≥ 1 が常に成り立つので、この媒介変数表示は左枝には決して到達せず、どんな実数 t でも到達しない。とくに単位双曲線であること、すなわち両半軸が 1 であること。一般の x²/a² − y²/b² = 1 には (a·cosh t, b·sinh t) が必要で、きれいな面積の結果には係数 ab がつく。そして面積は正の x 軸から測った符号つき扇形として数えるので、負の t は下側を掃く。
成り立たない場合: この名称は二つの方向に同時に誤解を招き、どちらも覚えておく価値がある。t を角と読めば、双曲線のあらゆる図が静かに誤りになる：図の中に t に等しい角は存在せず、もう一つの自然な候補である弧長は初等的でない。「余弦」を有界な振動と読めば逆の誤りが続く——cosh t は 1 を下回らず二度と下がってこない。だからこそそれは波の形ではなく、垂れ下がった鎖の形なのである。これらの関数は、自らが媒介変数表示する曲線にちなんで名づけられたのであって、円の同名関数と共有する振る舞いにちなんだのではない。

ガリレオは垂れた鎖を放物線だと考えた 🖖

自身の重みで垂れ下がる鎖は放物線にあまりによく似ているため、ガリレオは 1638 年にそれを放物線として書き残しました。しかし違います。本当の曲線は y = a cosh(x/a)、すなわち懸垂線であり、その差は丸め誤差のような些細なものではなく実在します。ヨアヒム・ユンギウスが放物線では誤りであることを示し、1691 年にはホイヘンス、ライプニッツ、ヨハン・ベルヌーイがそれぞれ独立に、ヤコブ・ベルヌーイの公開挑戦への答えとして正しい曲線を導きました。名前はラテン語で鎖を意味する catena に由来します。この形を上下逆にすると、どこにも曲げが生じず自重を純粋な圧縮だけで支える唯一のアーチになります。セントルイスのゲートウェイ・アーチが放物線ではなく懸垂線である理由がこれです。

正体は指数関数 🖖

難しそうな名前を外せば、sinh と cosh は指数関数 e^t と e^-t から組み立てられているだけです：cosh(t) = (e^t + e^-t)/2、sinh(t) = (e^t - e^-t)/2。つまり cosh は増加する指数関数と減少する指数関数の平均であり、sinh はその差の半分です。だから cosh は 1 を下回らず、sinh は原点をなめらかに通り抜けます。

虚数のいらない橋渡し 🖖

虚数を一切使わずに双曲線関数と円関数を行き来する方法があります。グーデルマン関数 gd(t) です：sin(gd t) = tanh(t)、tan(gd t) = sinh(t)。その逆関数 ln(tan(π/4 + φ/2)) は、メルカトル図法の縦座標そのものです。つまり古典的な海図はどれも、sinh と cosh の幾何を使ってひそかに描かれているのです。

全プロセスの詳細解説

指数関数と物理量1.543081から求めるCosh 1 6 ステップ
指数関数から cosh 1 を計算し、これらの関数の名称の由来となった恒等式を証明したうえで、1.543081 がどのような物理量であるかを突き止めよ。
1. どちらの関数もまったく同じ2つの指数関数から構成されており、異なるのは符号だけである。それ以外のすべてはそこから導かれる。
  
  $cosh t = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}, sinh t = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2}$
2. e = 2.718282 として t = 1 における値を評価する。これがツールに表示される数値である。
  
  $cosh 1 = \frac{2.718282 + 0.367879}{2} = \frac{3.086161}{2} = 1.543081$
3. 双方を2乗して引き算を行う。交叉項が相殺して残るのは 4/4 ——どこにも近似を含まない恒等式であり、このパラメータが円ではなく双曲線を描く理由である。
  
  $cosh^{2} t - sinh^{2} t = \frac{( e ^{t} + e ^{- t} ) ^{2} - ( e ^{t} - e ^{- t} ) ^{2}}{4} = \frac{4}{4} = 1$
4. 代わりに双方を足し合わせると、指数関数がそのままの形で再び現れる。その比が tanh であり、変数がどれほど大きくなろうとも ±1 の範囲に収まる（有界である）——この上限は、すぐ後で重要となる。
  
  $cosh t + sinh t = e^{t}; tanh 1 = \frac{1.175201}{1.543081} = 0.761594$
5. その有界な比を c を単位とする速度とみなしてローレンツ因子を計算する。すると、ステップ2で得られた数値が正確に再現される。
  
  $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}} = \frac{1}{1 - 0.76159 4 ^{2}} = \frac{1}{0.419974} = 1.543081 = cosh 1$
6. ここで、2つのラピディティを通常通り足し合わせ、元の速度に換算し戻す。その結果は相対論的な速度加算公式と一致し、これこそが、ラピディティが自然な座標とされる理由である。
  
  $tanh (1 + 1) = 0.964028 = \frac{0.761594 + 0.761594}{1 + 0.76159 4 ^{2}}$
解答

1.543081。これは 0.7616 c で運動する物体のローレンツ因子である。これは偶然の装いをした単なる偶然などではない。ラピディティを β = tanh φ と定義すると、ステップ3で証明した恒等式から γ = cosh φ が導かれ、一次元の特殊相対性理論全体が双曲線三角法へと置き換わる。その最大のご利益は、ラピディティが単純に足し合わされる点にある。ラピディティ 1 のブーストを2回重ねると tanh 2 = 0.9640 c となるが、これは 0.7616 c を自らと合成したときにアインシュタインの速度加算公式が得る結果と正確に一致する。速度は足し合わされない。足し合わされるのは、それらが余弦となっている角度のほうである。

$cosh 1 = 1.543081 = γ at v = 0.7616 c$

参考文献 (2)

The lesson — the definitions, the identity and the sector-area interpretation of the argument: F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert and C. W. Clark (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, ch. 4. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-19225-5.
Where the functions and their name come from: V. Riccati, Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, vol. I. Bologna, 1757 — where the hyperbolic sine and cosine are introduced. J. H. Lambert, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques", Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin 17, 1768, which brought them into general use.

42Math チーム · 更新 2026-07-22

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例題

恒等式の確認 - 双曲線関数の恒等式の確認:cosh^2(1) - sinh^2(1) = 1。
tanhの漸近線 - tanhは|t|が大きくなるにつれて+/-1に近づくが、tanのように発散はしない。
カテナリー曲線の形 - cosh曲線は、垂れ下がった鎖やケーブルの形状であるカテナリー曲線である。
導関数の関係 - 導関数の関係:d/dx sinh = cosh、d/dx cosh = sinh。