球面上の平行移動

球面上に閉曲線を描き、矢印が常に同じ方向を向くように保ちながら、その線上を一周させてみましょう。このページでは、矢印が最終的にどの向きになるのか、出発時の向きとどれくらいずれるのか、そしてその回転が曲線の内側の面積とどう関係しているかを示します。

計算例 — 球面上の平行移動

辺の長さ（中心角）	90.00°, 90.00°, 90.00°
A の角度	90.00°
B の角度	90.00°
C の角度	90.00°
3つの内角の和	270.00°
角超過	90.00°
内側の面積割合	0.1250
内側の面積	1.5708 R²

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レッスン

理論 — 球面上の平行移動

平行移動は、矢印を曲面上で回転させずに、経路に沿って運ぶ操作です。各ステップで矢印は曲面上にとどまり、曲面の形によって強制される分だけ向きを変えます。平坦な紙の上では、どのような閉曲線に沿って運んでも、矢印は出発したときと同じ向きで戻ってきます。しかし曲面上の場合は、向きが変わって戻ってくることがあります。その回転の大きさは、閉曲線の内側の領域で曲率をすべて足し合わせた値から、一周の整数倍を引いたものに等しくなります。半径 R の球面ではその値が面積/R² ラジアンとなり、大円の弧で描かれた三角形であれば、それがそのまま球面過剰 A + B + C − 180° となるのです。

各記号の意味

E: 三角形の角超過（A + B + C − 180°）。ラジアン単位では R² を単位とした内側の面積に等しい
R: 球の半径。ここでの地球の半径は 6,371.0088 km としている
φ: 矢印が移動する円の緯度

向きを変えなくても、矢印は 90° ずれて戻ってくる 🖖

三つの直角 を押してみてください。この三角形は北極から赤道へ下り、赤道を4分の1周して再び北極へと戻るもので、三つの角はすべて 90° です。ここでオレンジ色の矢印に注目してください。各辺に沿って移動する間、矢印は辺に対して常に同じ角度を保ちます。曲面上において「向きを変えない」というのはまさにこの状態を指しています。また、各頂点でも矢印自身は全く回転しません。それにもかかわらず、再び北極に到達したときには、出発時の点線の矢印から反時計回りに 90° 回転しています。メーターを見れば、この 90° がどこへ行ったのかがわかります。この三角形の辺に沿って歩く人は各頂点で 90°、合計 270° 向きを変えます。もしこれが平面上の閉じた経路であれば、向きを変える角度の合計はちょうど 360° になるはずです。この足りない 90° こそが矢印の回転分であり、同時に三角形の面積でもあります。R² を単位とすれば π/2、つまり球面全体の8分の1にあたります。

面積だけが関係する：フーコーのパリは球面のほぼ8分の1 🖖

同じ面積の円を押してみてください。北緯 48.59° の緯線です。ここでは sin φ = 3/4 となるため、その上の球冠にあたる部分は、八分球面と同じく球面全体の八分の一を占めます。円には角がありませんし、あの三角形と共通する特徴は面積以外に存在しません。それにもかかわらず、矢印はまったく同じように 90° 回転して戻ってきます。回転の大きさは、囲まれた面積だけで決まるのです。具体的には、球全体に対して内側が占める割合に 720° を掛け、そこから一周の整数倍を引いた値になります。二番目の図表では、すべての閉曲線が一本の直線上に並びます。続いてパリ、北緯 48.836°を押してください。コリオリの力とフーコーの振り子で扱った振り子の緯度です。今度は矢印が反時計回りに 88.98° 回転して戻ってきます。この矢印の正体こそが、あの振り子なのです。一恒星日の間に、地球は振り子の振動面を緯線に沿って一周させます。振り子をねじる力は働きません。そのため、自転する地面に対して振り子は時計回りに 360° − 88.98° = 271.02° 遅れます。これが、あのページにパリの数値として記載されている一時間あたり 11.32° という値です。北緯 30° では球冠の部分が球面全体の四分の一になるため、矢印は反転して戻ってきます。

アリは自分の世界を出ることなく、その半径を知ることができる 🖖

回転の大きさを面積で割った値は、半球より小さい閉曲線であれば、同じ球面上では常に一定になります。その値は 1/R² であり、この比率が曲率です。ロンドン、東京、ロサンゼルスを押してください。地球上のこの三角形は 47,696,300 km² の面積を覆い、矢印を 67.33° 回転させます。これは 1.17508 ラジアンに相当します。そして √(47,696,300 / 1.17508) は 6,371.0 km となり、地表で行った二つの測定から地球の半径が導き出されるのです。ただし、これを確かめるには巨大な閉曲線が必要です。正三角形の辺の長さを半分にしてみましょう。サイズが小さくなると、回転の大きさは四分の一に落ち込みます（表の 4.059、4.015、4.004 を確認してください）。そのため、一辺が 100 km の三角形を描いても、矢印は 22.0 秒角しか回転しません。測量士たちはルジャンドルの時代から、まさにこの現象を考慮してきました。小さな球面三角形のそれぞれの角は、同じ長さの辺を持つ平面三角形の角に比べて、球面過剰のほぼ三分の一だけ大きくなるのです。

全プロセスの詳細解説

内角の和が 181° になる三角形 4 ステップ
地球上で、大円からなる正三角形の内角の和がちょうど 181° になるとします。 この三角形はどれくらいの面積を覆い、辺の長さはどれくらいになるでしょうか。まずは 三つの直角 を押してみてください。このときの角超過は 90° で、画面には地球上での面積が表示されます。

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1. 八分球における角超過は4分の1回転です。面積はラジアン単位の角超過に R² を掛けたものになります。
  
  $E = 27 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 90.0 0^{\circ} = \frac{π}{2}, A = \frac{π}{2} R^{2} = 63, 758, 235 km^{2}$
2. 1° の角超過は π/180 ラジアンなので、三角形の形にかかわらず、面積はすぐに計算できます。
  
  $A = \frac{π}{180} \times 6371.008 8^{2} = 708, 424.8 km^{2}$
3. 辺の長さについては、これが正三角形であることを利用します。それぞれの角は 181°/3 です。三つの辺の長さ s が等しい球面三角形の余弦定理は cos A = cos s / (1 + cos s) となり、これを変形すると cos s が得られます。
  
  $A = \frac{18 1 ^{\circ}}{3} = 60.333 3^{\circ}, cos s = \frac{cos A}{1 - cos A} = \frac{0 . 49495324}{0 . 50504676} = 0.9800147 \Rightarrow s = 11.474 1^{\circ}$
4. キロメートル単位の辺の長さは、この角度（ラジアン）に R を掛けたものになります。
  
  $s = 11.474 1^{\circ} \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} \times 6371.0088 km = 1, 275.9 km$
解答

面積は 708,425 km² で、辺の長さは 1,275.9 km です。 同じ長さの辺を持つ平面の三角形であれば、三つの角は正確に 60° となり、面積は約 704,900 km² で 0.50% 小さくなります。1° もの角超過を生み出すには、大きな国と同じくらいのサイズの三角形が必要です。辺の長さを半分にすると角超過は 0.249° とほぼ4分の1に落ち込みます。私たちが野原に三角形を描いて分度器で測っても、内角の和が 180° にしかならないのはこのためです。

$A = 708, 425 km^{2}, s = 1, 275.9 km$

学習の道すじ

曲面上の幾何学

参考文献 (2)

The turn of a parallel-transported vector round a circle of latitude, 2π(1 − sin φ), equal to the area of the cap it bounds on the unit sphere; the Foucault pendulum as that transport, with Paris turning about 271° against the ground in a sidereal day; and, for a geodesic triangle, the curvature inside equal to the angle sum minus π: O. Stoytchev, "From Foucault's Pendulum to the Gauss–Bonnet Theorem", arXiv:1701.01666 [math.HO] (2017).
The area of a spherical triangle, (A + B + C − π)r², proved from lunes; the law of cosines the results table uses for the angles; and Legendre's theorem, that each angle of a small spherical triangle exceeds the flat triangle's with the same sides by a third of the excess, with its use in measuring the Earth: I. Todhunter, Spherical Trigonometry for the Use of Colleges and Schools, 5th edition, Macmillan, 1886, Arts. 96–97 and 106–108 (Project Gutenberg ebook 19770).

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。