軸のねじり：中実軸と中空軸

中実軸か中空軸かを選び、指定された回転速度での動力、あるいはトルクといった伝達すべき荷重を入力してみてください。このページでは、せん断応力、ねじれ角、安全率を計算し、選んだ断面で条件を満たす最も細い軸の寸法を求めます。図の下にある表で、その具体的な計算結果を確認できます。

計算例 — 軸のねじり：中実軸と中空軸

角速度	314.2 rad/s
トルク	477.5 N·m
内径	72.39 mm
断面二次極モーメント	614,000 mm⁴
最大せん断応力	29.63 MPa
内径部のせん断応力	28.15 MPa
ねじれ角	0.835°
1m当たりのねじれ角	0.557°/m

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レッスン

理論 — 軸のねじり：中実軸と中空軸

トルク T を受ける軸は、ねじりの状態にあります。せん断応力は半径に比例して大きくなり（τ = T r ÷ J）、表面で最大に達します。ここで J は断面二次極モーメント（J = π(D⁴ − dᵢ⁴) ÷ 32）であり、断面のどれだけの部分が軸の中心から遠く離れているかを表します。軸のねじれ角は φ = T L ÷ (G J) となります。G はせん断弾性係数です。角速度 ω で回転する軸が伝達する動力は P = T ω で表されます。

各記号の意味

T: トルク（N·m）。動力と速度から、T = P ÷ ω となります
J: 断面二次極モーメント（m⁴）。直径の4乗に比例するため、直径を少し大きくするだけで劇的な効果が得られます
τ: せん断応力。中心軸上でゼロになり、表面で最大になります
φ: ねじれ角（ラジアン）。長さに比例します
G: せん断弾性係数。せん断に対する材料の剛性を表します。鋼は約80 GPa、アルミニウムは約26 GPaです

軸の中心部は荷重をほとんど負担しない 🖖

ねじりを受ける軸のせん断応力は、中心からの距離に比例して大きくなります。つまり、中心軸上ではゼロであり、表面で最大になります。半径の内側半分は、全体の4分の1もの金属を占めているにもかかわらず、伝達するトルクはわずか16分の1にすぎません。それなら、中心部を取り除いてみましょう。中空軸の寸法を計算を押してみてください。同じ150 kWを3000 rpmで伝達する場合、中実軸には32.30 mm必要ですが、内径が外径の80%の中空軸なら38.50 mmで済みます。しかも質量は中実軸の51.2%にしかなりません。グラフを見ると、この関係性がはっきりと分かります。同じ外径なら、内径80%の中空軸は中実軸の36.0%の質量で、59.0%ものトルク容量を維持できるのです。自動車の推進軸が太くて薄い管でできているのも、このページでは計算していませんが、関連した理由があります。それは、推進軸が曲げに対しても剛性を持たなければならないからです。もし剛性が足りなければ、その長さと回転速度によって軸が激しく振動してしまいます。同じ質量で最大の剛性を得るには、太い管にするのが最適なのです。

軸の回転速度を10倍にすれば、10倍の動力を伝達できる 🖖

動力はトルクと角速度の積です。特定の寸法の軸において、トルクは鋼材が耐えられる応力によって上限が決まるため、伝達できる動力は回転速度に正比例して大きくなります。自動車の推進軸、3000 rpmを押し、次に同じ動力、300 rpmを押してみてください。同じ150 kWを10分の1の速度で伝達するには、10倍のトルクが必要になります。応力は296.29 MPaにまで跳ね上がり、安全率は4.87から0.49へと急落します。応力と設計係数を元の値に戻すには、軸を10の3乗根、つまり2.15倍の太さにしなければなりません。船舶用プロペラ軸はその極端な例です。90 rpmで20 MWを伝達するために、外径650 mmの中実棒が使われます。強度だけを考えれば531 mmでも十分ですが、実際の軸は曲げや疲労、振動も考慮して設計されます。減速機の出力軸がゆっくり回転するにもかかわらず、通常は最も太く作られているのも、まさにこのためです。

ねじりとはせん断であり、せん断とは45度の引張である 🖖

ねじれを受けた軸の表面上のすべての点は純せん断状態にあります。計算結果の表には、それが軸に対して45度傾いた面で何を意味するかが示されています。大きさが等しい、+τと−τという二つの主応力が働いているのです。表の下にあるリンクを開くと、この状態をモールの応力円で確認できます。軸がどこで破断するかも、この事実によって決まります。軟鋼のような延性材料は、断面に沿ってせん断で破壊します。一方、鋳鉄のような脆性材料は、45°のらせん状に引張で破壊します。強度よりも剛性が求められる場面では、より軽い金属が有利になることがあります。アルミニウム、同じ剛性を押してみてください。外径52.98 mmのアルミニウム棒は、外径40 mmの鋼棒と同じだけねじれますが、その質量は鋼棒のわずか60.3%にすぎません。

全プロセスの詳細解説

駆動軸の寸法計算：中実軸と中空軸 5 ステップ
ある鋼軸で、150 kWの動力を3000 rpm、設計係数2で伝達する必要があります。この鋼材の引張降伏強さは250 MPaです。この条件を満たす中実軸の最小外径、内径が外径の80%である中空軸の最小外径、そして中実軸に対する中空軸の質量比を求めてみましょう。中空軸の寸法を計算を押して、結果を確認してください。

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1. トルクは、動力と角速度から次のように導かれます：
  
  $T = \frac{P}{ω} = \frac{150 000}{2 π \cdot 3000/60} = 477.5 N m$
2. 許容せん断応力は、せん断降伏強さ（引張降伏強さ ÷ √3）を設計係数で割った値になります：
  
  $τ_{allow} = \frac{σ _{y}}{3 n _{d}} = \frac{250}{3 \cdot 2} = 72.17 MPa$
3. 中実軸の表面でこの応力に達するのは、次の条件のときです：
  
  $d = 3 \frac{16 T}{π τ _{allow}} = 3 \frac{16 \cdot 477 . 5}{π \cdot 72 . 17 \times 1 0 ^{6}} = 32.30 mm$
4. 内径が0.8 Dの中空軸は、同じ外径Dの中実軸に対して 1 − 0.8⁴ の断面二次極モーメント J を持ちます。したがって、その外径は、中実軸の外径を 1 − 0.8⁴ の3乗根で割った値になります：
  
  $D = \frac{d}{3 1 - 0 . 8 ^{4}} = \frac{32 . 30}{3 0 . 5904} = 38.50 mm, d_{i} = 0.8 D = 30.80 mm$
5. 質量は断面積に比例するため、2つの質量の比は次のようになります：
  
  $\frac{m _{hollow}}{m _{solid}} = (1 - 0 . 8^{2}) (\frac{38 . 50}{32 . 30})^{2} = 0.36 \cdot 1.4208 = 51 . 2%$
解答

中実軸には32.30 mmが必要であり、中空軸の場合は外径38.50 mm、内径30.80 mmが必要になります。まったく同じ強度でありながら、中空軸の質量は中実軸の51.2%で済みます。19%太くなるという代償はありますが、空間よりも軽さが重視されるあらゆる場所で中空軸が使われているのは、まさにこれが理由なのです。

$d = 32.30 mm, D = 38.50 mm, 51 . 2%$

学習の道すじ

荷重はどこへ流れるか

参考文献 (1)

Where the four materials' modulus and yield figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A materials handbook or the relevant specifications: EN 10025 / ASTM A36 for mild steel, AISI 4140, 6061-T6 aluminium and Ti-6Al-4V.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。