円錐曲線エクスプローラー

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 による陰関数円錐曲線

計算例 — 円錐曲線エクスプローラー

方程式	0
分類規則	Δ<0⇒楕円,Δ=0⇒放物線,Δ>0⇒双曲線
分類	楕円

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判別式は幾何学的な相境界である 🖖

判別式 Δ = B² - 4AC は円錐曲線の相境界です。Δ < 0 なら楕円系の曲線、Δ = 0 なら放物線系の曲線、Δ > 0 なら双曲線系の曲線になります。1次の項DとEは曲線を平面内で平行移動させ、Fはレベルセットの値を決めます。

一つの円錐から、すべての曲線 🖖

懐中電灯を壁にまっすぐ向けると光の輪は円を描き、傾けると円は楕円に伸び、やがて放物線として開き、最後は双曲線に分かれます。この四つはどれも同じ光の円錐の断面です。このツールはその逆を行い、六つの係数 A–F から、あなたがどの断面を描いたかを読み取ります。円は A = C かつ B = 0 という特別な楕円にすぎません。

軌道はエネルギーで円錐曲線を選ぶ 🖖

ニュートンは、逆二乗の重力を受ける物体はすべて太陽を一つの焦点とする円錐曲線を描くことを示しました。どの曲線になるかは全エネルギーの符号で決まり、負なら楕円に束縛され、ちょうどゼロなら放物線の脱出軌道、正なら双曲線に開きます。天文学者がオウムアムア(2017年)や彗星 2I/ボリソフ(2019年)を太陽系の外から来たと見抜けたのはこのためで、その軌道は明確に双曲線的(e > 1)で、何ものも引き戻せなかったのです。

二次曲線理論 — 円錐と切断面

二次曲線の分類：円錐の切断から方程式へ

すべての二次曲線（円錐曲線）は、二重円錐を平面で切断することによって形成されます。平面の傾きによって曲線群が決まり、判別式 Δ = B² - 4AC と離心率 e によって方程式が分類されます。

円 — 一定の半径と離心率 0 x² + y² = r²

楕円 — 2つの焦点と閉じられた軌道 x²/a² + y²/b² = 1

放物線 — 焦点と準線からの等距離 y = a(x − h)² + k

双曲線 — 2つの開いた枝と漸近線 x²/a² − y²/b² = 1

退化二次曲線 — 頂点を通る切断 Ax² + Cy² = 0

回転二次曲線 — 交差項 Bxy による傾き tan(2θ) = B / (A − C)

円 — 一定の半径と離心率 0

与えられた条件: 判別式 Δ < 0, A = C ≠ 0, B = 0 (離心率 e = 0)

方程式: x² + y² = r²

計算例: x² + y² = 9 ⟹ 中心 (0,0)、半径 r = 3 の円

この曲線を開く: 円

円 — 一定の半径と離心率 0. 円：円錐の対称軸に対して垂直な切断面。判別式 Δ < 0, A = C ≠ 0, B = 0 (離心率 e = 0) — 円：円錐の対称軸に対して垂直な切断面。

楕円 — 2つの焦点と閉じられた軌道

与えられた条件: 判別式 Δ < 0, A ≠ C または B ≠ 0 (0 < e < 1)

方程式: x²/a² + y²/b² = 1

計算例: 4x² + 9y² = 36 ⟹ 長半径 a = 3, 短半径 b = 2

この曲線を開く: 傾いた楕円

楕円 — 2つの焦点と閉じられた軌道. 楕円：円錐の一方の側面を斜めに切断した平面。判別式 Δ < 0, A ≠ C または B ≠ 0 (0 < e < 1) — 楕円：円錐の一方の側面を斜めに切断した平面。

放物線 — 焦点と準線からの等距離

与えられた条件: 判別式 Δ = B² - 4AC = 0 (離心率 e = 1)

方程式: y = a(x − h)² + k

計算例: y - x² = 0 ⟹ 頂点 (0,0)、焦点 (0, 0.25)

この曲線を開く: 放物線

放物線 — 焦点と準線からの等距離. 放物線：円錐の母線と平行な切断面。判別式 Δ = B² - 4AC = 0 (離心率 e = 1) — 放物線：円錐の母線と平行な切断面。

双曲線 — 2つの開いた枝と漸近線

与えられた条件: 判別式 Δ = B² - 4AC > 0 (離心率 e > 1)

方程式: x²/a² − y²/b² = 1

計算例: x² - y² = 4 ⟹ 漸近線 y = ±x を持つ2つの枝

この曲線を開く: 双曲線

双曲線 — 2つの開いた枝と漸近線. 双曲線：二重円錐の両方を貫く急勾配の切断面。判別式 Δ = B² - 4AC > 0 (離心率 e > 1) — 双曲線：二重円錐の両方を貫く急勾配の切断面。

退化二次曲線 — 頂点を通る切断

与えられた条件: 切断面が円錐の中心頂点を直接通過する

方程式: Ax² + Cy² = 0

計算例: x² + y² = 0 (1点) または x² - y² = 0 (交差する2直線 y = ±x)

この曲線を開く: 退化直線

退化二次曲線 — 頂点を通る切断. 退化二次曲線：頂点を通る切断により曲線が潰れます。切断面が円錐の中心頂点を直接通過する — 退化二次曲線：頂点を通る切断により曲線が潰れます。

回転二次曲線 — 交差項 Bxy による傾き

与えられた条件: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 において B ≠ 0

方程式: tan(2θ) = B / (A − C)

計算例: 4x² + xy + 2y² = 16 ⟹ 主軸が傾いた回転楕円

この曲線を開く: 放物線に近い形

回転二次曲線 — 交差項 Bxy による傾き. 回転二次曲線：交差項 Bxy により長軸・短軸が傾きます。 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 において B ≠ 0 — 回転二次曲線：交差項 Bxy により長軸・短軸が傾きます。

参考文献 (1)

Insight block 3 — the hyperbolic orbit that proved an object came from outside: K. J. Meech et al., "A brief visit from a red and extremely elongated interstellar asteroid." Nature 552, 378–381, 2017 — 1I/ʻOumuamua, whose positive orbital energy is what identified it.

全プロセスの詳細解説

傾いた楕円の傾斜角、2つの軸と離心率 5 ステップ
4x² + xy + 2y² = 16 は楕円であり、xy 項があるため斜めに傾いている。このパネルには表示されない、傾きの角度、2つの軸、および離心率を求めよ。
1. まず判別式によって曲線の種類が決定される。判別式は負であるため、曲線は楕円であり、回転や平行移動をどれほど行ってもそれが変わることはない。
  
  $Δ = B^{2} - 4 A C = 1 - 4 (4) (2) = 1 - 32 = - 31 < 0$
2. 2次の部分を、xy の係数を2つの非対角成分に等分割した対称行列として表す。その行列式は 7.75 であり、判別式は正確にその −4 倍となる。これは異なる表記による同じ判定法である。
  
  $M = (A B /2 B /2 C) = (4 0.5 0.5 2), det M = 8 - 0.25 = 7.75 = - \frac{Δ}{4}$
3. 座標軸を θ だけ回転させると B が変化し、B を完全に消去する回転は tan 2θ = B/(A − C) を満たす。これを解くと、約 13.3° の傾きが得られる。
  
  $tan 2 θ = \frac{B}{A - C} = \frac{1}{2} ⟹ θ = 13.282 5^{\circ}$
4. 回転後の座標系では方程式に交叉項がなくなり、2つの新しい係数はその行列の固有値となる。これで楕円はおなじみの標準形となる。
  
  $λ = \frac{6 \pm 5}{2} = 4.118, 1.882 ⟹ 4.118 x^{'2} + 1.882 y^{'2} = 16$
5. 続いて半軸長が求められ、それらから離心率 0.737 が得られる。これは明らかに細長い楕円である。短軸は長軸の 68% であり、太陽系のどの惑星もこれに近い形状の軌道には存在しない。
  
  $a = \frac{16}{1.882} = 2.916, b = \frac{16}{4.118} = 1.971, e = 1 - \frac{b ^{2}}{a ^{2}} = 0.737$
解答

ツールは Δ = −31 と出力し、これを楕円と分類する。ステップ2はその分類が信頼できる理由を示している。座標軸を回転させると A、B、C は個別に変化するが、それらが形成する行列の行列式を変えることはできず、判別式はその行列式の −4 倍にほかならない。したがって、楕円・放物線・双曲線の境界は、たまたま描画した座標系の性質ではなく、曲線自体の性質なのである。これこそが、価値ある分類であるために必要な性質にほかならない。

$Δ = - 4 det M, and det M survives rotation$

42Math チーム · 更新 2026-08-17

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例題

円 - x^2 + y^2 = 9 は円であり、楕円の特別な場合である。
傾いた楕円 - xyの項が0でないと、傾いた楕円になる。
放物線 - y = x^2 は放物線に分類される(delta=0)。
双曲線 - x^2 - y^2 = 4 は2枝双曲線である。
退化直線 - ここでは双曲線のプリセットと全く同じく Δ = 4 となりますが、分類は「退化」を示しています。両者の違いはただ一つ、F が −4 ではなく 0 であること。そもそも B² − 4AC の中に F は一切登場しません。x² − y² = 0 は (x − y)(x + y) = 0 と因数分解され、二つの漸近線そのものを表す式になります。これは、双曲線が漸近線に完全に重なって潰れてしまった姿なのです。判別式が教えてくれるのは曲線のグループだけ。曲線そのものが生き残っているかどうかまでは判定できないのです。
放物線に近い形 - ぴったり Δ = 2² − 4(1)(1) = 0 となるため、分類は「放物線に近いもの」などではなく正真正銘の「放物線」を示します。式を整理してみましょう。(x + y)² = 4y となりますね。放物線としての性質は全く変わっていません。xy の項が図形を座標軸に対して傾けただけなのです。ここで B を十分の一だけ小さくするとどうなるでしょうか。Δ は負に変わり、曲線は閉じて楕円になります。逆に十分の一だけ大きくすれば、今度は開いて双曲線になります。すべての変化が、このたった一つの数に懸かっているのです。