テニスラケットの定理

中間軸、ε 10⁻³ を押してください。物体の慣性モーメントの比は 1 : 2 : 3 であり、軸 2 の周りを毎秒一回転し、他の二つの軸の周りにはその千分の一の回転が与えられています。2.37 s で横向きになり、すぐ後に上下逆さまになります。その 4.38 s 後に再び反転し、実行中はこれをいつまでも繰り返します。赤い矢印は角運動量 L を表し、これはまったく動きません。60 s 経過後もエネルギーと |L| は初期値の 1.000000 のままであり、L の空間における変位はその長さの 5.9×10⁻¹⁰ にすぎませんが、これは積分器自身の誤差です。トルクは働いておらず、反転にエネルギーは不要です。二番目のパネルは、なぜ軸 2 だけでこれが起きるのかを示しています。E と |L| がともに固定されているため、物体から見た L の向きは、そこに描かれた曲線群のうちの一本に沿ってしか移動できません。±1 と ±3 の周囲では小さな閉曲線になっているため、小さな揺らぎは小さなままです。±2 でそれらは交差して鞍点となり、+2 の近くを通る曲線は −2 までずっと伸びています。最大モーメント、ε 10⁻³ を押してください。同じ揺らぎを軸 3 に与えても、三番目のパネルでは平坦な線となり、反転は起こりません。

中間軸、ε 10⁻⁶ を押してください。同じ投擲を千倍綺麗に行なったものです。反転間隔は 4.38 s ではなく 8.19 s になりました。結果の下にある表がこの法則を示しています。10⁻² 以下では、揺らぎが十分の一になるごとに同じ 1.27 s が加算され、それは 10⁻¹² まで続きます。三番目のパネルはその理由を説明しています。中間軸の周りの揺らぎは e^λt に比例して成長し、対数スケールでは直線になります。反転のたびに揺らぎは逆さまの状態で ε 程度まで縮小し、次の反転の前に再び成長しなければなりません。ε までの減衰にはおよそ ln(1/ε)/λ かかり、再成長にも同じ時間がかかるため、ε が十分の一になるごとに 2 ln 10/λ の時間がかかり、これは λ = 3.628 s⁻¹ のとき 1.27 s となります。慣性モーメントを変えれば表もそれに従います。10⁻² の揺らぎ以下では、この間隔は 2 ln 10/λ の誤差 半パーセント以内に収まります。スマホを放り投げたときに反転するのはこのためです。放り投げたスマホ を押してください。マイケル・ウィートランドらは質量とサイズから iPhone 8 Plus の慣性モーメントをそれぞれ 1.04、4.23、5.25 ×10⁻⁴ kg·m² と算出し、17.002 rad/s のとき λ は 13.125 s⁻¹ になります。揺らぎを十分の一に抑えるごとに 0.35 s 稼ぐことができ、0.2 の揺らぎでスマホは 0.32 s で反転します。彼らのスマホのジャイロスコープは、実際の投擲中にこれと同じ反転を記録しました。

エネルギー散逸、軸 1 を押してください。最小の慣性モーメントを持つ軸 1 は、先ほどは安定していました。ところがここでは、その周りの回転はゆっくりと広がり、40.60 s で逆転し、開始時の 0.333712 のエネルギーとすべての角運動量を保ったまま、軸 3 の周りに落ち着きます。内部摩擦は回転する物体からエネルギーを奪いますが、物体の全体の L を変えることはできず、固定された L においてエネルギー L²/2I は I が最大であるときに最小になります。軸 1 の周りの回転は L が許容する最大のエネルギーを持つため、散逸が起こると L は二番目のパネルの球面を横切り、鞍点を越えて ±3 へと移動します。エクスプローラー 1 号は 1958 年にこれに直面しました。それは長軸（慣性の最も小さな軸）の周りで回転するよう設計された細長い物体であり、四本の柔軟なアンテナを備えていましたが、その回転を維持できませんでした。マイケル・エフロイムスキーの 2001 年の揺れ動く小惑星に関する論文は、この話題から始まります。このページにおける散逸は、エネルギーを放出し L をそのままにするという二つの性質だけを、ページが選んだ速度で持たせたモデルであり、アンテナをモデル化したものではありません。散逸がなければ、最初の二つのブロックにおける反転は永遠に続きます。散逸がある場合、J. A. デラトーレとペップ・エスパニョールが述べたように、ジャニベコフの蝶ナットは、十分長く観察していれば主軸の周りを回転する姿が発見されたはずです。