全プロセスの詳細解説
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三角点L4およびL5の線形安定性 5 ステップ
地球は 5.972 × 10²⁴ kg、月は 7.346 × 10²² kg である。ラウスの基準は、二体系の三角点 L4 および L5 が線形安定であるかどうかを判定するものであり、この天体系に関してちょうど1つの数値のみを必要とする。地球・月系についてこの値を計算し、さらにこの基準が成り立たなくなる質量比を求めよ。
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2つの質量は、全体に占める小さい方の質量の割合としてのみ式に関与する。月は惑星の基準で見ると重い副体であり、ペア全体の 1% 以上を占めているため、μ を無視できるケースではない。
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L4 のまわりで回転座標系の運動方程式を線形化すると、4つの固有値 λ は奇数次の項を持たない4次方程式を満たす。これは実質的に2次方程式であり、s = λ² とおけば、4つの根の代わりに2つの根を考えればよくなる。
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λ = ±√s であるため、負の s は純虚数の対を与え、eλt は増幅も減衰もしない。係数がすでに保証している内容を読み取ると、根の和は −1、積は正の数になるため、仮に根が実数であれば、それ以上計算しなくても両方とも負となる。これを妨げうるのは平方根の部分だけである。
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したがって、基準全体は単一の不等式に集約される。すなわち、27μ(1−μ) が 1 未満にとどまらなければならない。地球・月系ではこの値は 0.3241 となり、限界値の 32% にあたる。
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平方根の中に残るのが判別式 0.6759 であり、これは正である。したがって s に対する2つの根は実数となり、−0.0889 と −0.9111 になる。係数が約束したとおり、両方とも負である。
解答
μ = 0.01215, 27μ(1−μ) = 0.3241, D = 0.6759. 検討に値する問いは、その 32% という余裕がどこで尽きるかである。27μ(1−μ) = 1 とおくと、μ に関する2次方程式 27μ² − 27μ + 1 = 0 が得られ、対応する解は (27 − √621)/54 = 0.03852 となる。質量比として見ると、主体は副体より 24.96 対 1 以上の重さでなければならない。地球は月より 81.30 対 1 だけ重いため、この基準が破綻するまでに月は 3.26 倍重くなる余地がある。余剰は大きいが、これはあくまで余裕であり、すべてのペアにおいて成立する不等式ではない。これを破るペアが冥王星とカロンである。8.2 対 1 という比率は μ = 0.1085、27μ(1−μ) = 2.612、および判別式 −1.612 を与える。判別式が負になると s の2つの根はともに複素数となり、共役複素数対の4つの平方根には常に実部が正であるものが1つ含まれる。
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参考文献 (3)
- The Routh criterion and the two libration frequencies at L4/L5: C. D. Murray and S. F. Dermott, Solar System Dynamics, §3.9. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-57597-3.
- The restricted three-body problem in full, including why L4/L5 are potential maxima: V. Szebehely, Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies. Academic Press, 1967.
- The low-energy transfer network named in the third block: W. S. Koon, M. W. Lo, J. E. Marsden and S. D. Ross, "Heteroclinic connections between periodic orbits and resonance transitions in celestial mechanics." Chaos 10(2), 427–469, 2000.