L2: 中等
どれくらい遠くにあるのか？
ASTRO星がどれほど明るく見えようとも、そこまでの距離がわからない限り、その星について解き明かせることは何一つありません。これら四つはまさにこの順序で進みますし、天文学も同じ道を辿ってきました。測量士の三角形から観測可能な宇宙の果てに至るまで、すべての段が一つ下の段を基準にして測られているのです。
天文学 & 宇宙
天文学では、ほとんど何ひとつ直接には測られていません。距離も質量も温度も、明るさと色と時間の測定から推論されるものであり、その推論の連鎖こそが本当の主題です。
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- 視直径変換ツール 月の視直径は 0.51792° で太陽は 0.5334° と 3% だけ大きく、このわずかな差こそが皆既日食が起こる理由のすべてであり、微小角の近似を用いると 10° のとき 0.25%、60° のとき 10% の誤差が生じます。
- 天文単位換算ツール 1パーセクとは 1 AU が一秒角の角度を張る距離のことであり、換算すると 206,264.8 AU、あるいは 3.2616 光年になります。なお、AU は 2012年 に地球の軌道との連動を終え、現在では正確に 149,597,870,700 m と定義されています。
- 吸収線と輝線 同じスペクトル線が暗くなったり、明るくなったり、あるいは完全に消えてしまう様子を観察しましょう。それを決めるのは原子ではなく、ガスの温度が背後にあるものより低いか高いかです。
章
単体のツールではなく、短い系列として。各ステップは次のステップに具体的なものを渡すので、順番に進める価値があります。
全プロセスの詳細解説
- 地球の重力が優位でなくなる場所に対する2つの標準的な解
- 大きさと表面温度から求める太陽の全放射電力
- 夜空で最も明るい星であるシリウスの距離と光度
- 木星と土星が直列する周期
- 木星に対する天体のティスランパラメータ
- 質量比4.5、比推力311 sでの軌道到達
- 地球を周回するモルニヤ軌道の周期と2つの極限速度
- 太陽がピークとなる色と温室が機能する理由
- 一本の線と、さらに一歩先へ進む光子
- 初期条件から求める3つの等質量の8の字軌道のエネルギー
- 5772 Kの表面に対するプランクの法則から導くウィーンの定数
- 2026年のニューヨークの最も早い日没と最も短い日の間の13日間
- 100ミリ秒角の視差からのパーセクの導出
- 銀河の水素アルファ線が660.00 nmにあるときの後退速度
- 答えの本当の由来となる7つの要素のどれか
- 150,000個の恒星の探査から検出される地球型惑星
- 1000 Mpc離れた光源の中間にある10¹²太陽質量のレンズ
- 440 Mpcにおける36および29太陽質量
- 測定できる線幅と、測定できない温度
- 恒星月から29.5306 dの朔望月を導出
- 地球の平均密度5.513 g/cm³と表面の岩石から求める表面重力
- 78.9太陽半径でのリゲルの光度と等級差
- 21 M☉の星の光度、温度、半径、寿命
- 6500光年の距離と3000 km/sにおけるシェルの半径
ここでわかること
これらのツールから生まれた記事
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The Sun pulls the Moon twice as hard as the Earth does
The Earth pulls the Moon with 1.98 × 10²⁰ newtons. The Sun pulls it with 4.35 × 10²⁰. The Sun wins by more than two to one, the Moon stays with us anyway, and the reason is not the one most people reach for.
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The night sky should be as bright as the Sun. Step outside and check.
If the universe were infinite and eternal, every direction you look would eventually hit a star, and the night sky would glare like the surface of one. It is dark instead, and the darkness is evidence about the age of everything.
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Nobody has ever weighed the Sun. We timed something going round it instead.
There is one way to measure a mass you cannot touch: watch something orbit it, and time the orbit. The same equation weighs planets, stars and whole galaxies. Dark matter turned up where its answer stopped matching the sky.
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A quasar at z = 3 is receding at 1.46 times the speed of light
Cosmological redshift is not a Doppler shift, and the difference stops being academic above z ≈ 1.5, where the recession speed exceeds c without anything moving through space or breaking relativity.
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To catch the spacecraft ahead of you, slow down
Firing your engine towards a target in the same orbit sends you further behind it. The only way to catch up is to brake, drop into a lower and faster orbit, and come back up in front.
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Most of a rocket is fuel, and better engineering will not change that
The rocket equation is logarithmic in the wrong direction: speed goes up like the logarithm of the mass you carry. Reaching orbit costs more than everything after it.
この分野のすべてのツール
Orbital Mechanics & Astrodynamics
ケプラーの法則軌道シミュレーター
惑星が軌道の遠い半分で過ごす時間は一年の ½ + e/π を占め、e = 0.4 では 62.73%、地球の 0.0167 では 50.53% となりますが、同じ離心率でも別の線で区切ることで北半球の冬は五日短くなります。
ティスラン・パラメータ計算機
ティスラン・パラメータには U² = 3 − TP という速度が隠されており、3 を超えるとこの値は負になるため、天体は惑星の軌道に届かず軌道を曲げられることもないことから、彗星と小惑星の境界線は単なる分類上のものではなく物理的な意味を持っています。
ビス・ビバの式
モルニヤ軌道の速度は近地点で 10.021 km/s、遠地点で 1.497 km/s となり、11.97 時間の周期のうち 8.80 時間を r = a の外側で過ごします。この 73.6% という割合は ½ + e/π で導かれ、計算に μ や軌道長半径は一切不要なのです。
ヒル球計算機
地球のヒル半径は 1.472 × 10⁶ km で月はその 0.26 の位置に収まりますが、ホット・ジュピターのヒル半径は 450,000 km となり、順行軌道の安定限界は月の 384,400 km の軌道よりも内側の 225,000 km で終わってしまいます。
ホーマン遷移計算機
低軌道から静止軌道へ向かうには接線方向に 2.428 と 1.468 km/s の二回の噴射が必要で、待機軌道を出発する質量の 71% を推進剤が占めることになります。軌道半径の比が約 11.9 を超えると、二重楕円遷移を用いた方がコストを抑えられます。
会合周期計算機
公転周期が共に二年未満の二つの天体でも、一直線に並ぶにはそれ以上の時間がかかることがあり、地球と火星の場合は 2.135 年、約 25.6 ヶ月を要するため、火星への打ち上げ機会を一度逃すと二年の遅れが生じることになります。
影響圏計算機
地球の重力が優位性を失う境界には、62%もの開きがある二つの正解が存在します。2/5乗に基づく0.006181 AUの作用圏と、1/3乗に基づく0.01000 AUのヒル半径です。
視線速度の半振幅
10 日周期の軌道にある地球サイズの惑星は、直径 1.4 百万キロメートルの恒星に半径 40.8 km の軌道を描かせて 0.2968 m/s で揺さぶりますが、これがホット・ジュピターであれば 475 倍のシグナルをもたらします。
脱出速度比較ツール
惑星・恒星・極限天体の脱出速度を比較。中性子星（～0.64c）が他の天体をいかに圧倒するかが一目でわかる。
軌道周期計算機
T = 2π√(a³/GM) の式に離心率が現れることはありません。そのため、6771 km から 77557 km まで広がる軌道も、円軌道である静止軌道と全く同じ 23.94 h で戻ってきます。また、地球を 84.4 分より早く一周できるものは存在しません。
Stellar Physics & Evolution
ウィーンの法則ピーク波長ツール
太陽の放射ピークは 502 nm、地球の放射ピークは 10.06 μm であり、この二十倍の差こそが温室効果のメカニズムのすべてです。ウィーンの定数には、閉じた形を持たない超越方程式の根 4.965114232… が隠れています。
シュテファン=ボルツマン太陽光度計算機
温度は四乗、半径は二乗で効くにもかかわらず、太陽より低温のベテルギウスは温度による 0.135 倍のハンデを負いながら、半径の大きさだけで 78,914 L☉ の光度に達します。
スペクトル線の広がり
スペクトル線の熱による広がりと自転による広がりを比較します。同じガス中では、水素の線幅は鉄の 7.443倍になり、この線幅から温度を測定することができます。
ブラックホール計算機
幾何学的な構造は質量のみで決定され、光子球は 1.5 rs、最内殻安定円軌道は 3 rs となります。10⁸ 太陽質量のブラックホールは平均密度が約 1800 kg/m³ と水より少し重い程度なので、気付かないうちに事象の地平面を越えてしまうことすらあり得るのです。
光子エネルギー計算機
人間の視覚はすべてたった一オクターブに収まり、聴覚が十オクターブを網羅するのに対し、400 nm は 3.10 eV、700 nm は 1.77 eV とその幅は 1.75× に過ぎず、530 nm の緑色光がもたらす 2.3393 eV でも O₂ を分解することはできません。
吸収線と輝線
同じスペクトル線が暗くなったり、明るくなったり、あるいは完全に消えてしまう様子を観察しましょう。それを決めるのは原子ではなく、ガスの温度が背後にあるものより低いか高いかです。
太陽光度比較
シュテファン＝ボルツマンの法則の式を二つ並べて割ると 4π と σ が相殺されるため、物理定数に一切触れることなくベガが太陽の 42.7 倍の光度だと求まります。リゲルの場合、半径の要素が 6,225 も寄与する一方で、温度の寄与は 19.3 にとどまります。
恒星等級計算機
シリウスが夜空で際立って明るいのはそれが特別だからではなく単に距離が近いからで、2.642 pc 離れた位置から太陽の 22.9 倍の光を放っています。これを基準となる 10 pc の距離に置くと 1.43 等となり、北極星よりも暗く見えます。
恒星進化エクスプローラー
二十一太陽質量の星は太陽の 194,481 倍の光を得る代わりに、寿命の面では 9,000 倍の代償を払うことになります。リゲルは 1.08 百万年で終焉を迎え、このページで当てはめた三つの冪乗則には 2.08 倍の乖離が見られます。
水素のスペクトル線とリュードベリの公式
リュードベリの公式から水素のスペクトル線を計算し、どこに現れるかを確認します。二つの整数と一つの定数がスペクトル全体を決定し、系列の極限は電離エネルギーと一致します。
超新星膨張推定機
かに星雲のフィラメントを現在の速度のまま時間を逆戻りさせると、収束するのは 1140年 頃となり、中国が 1054年 に記録した超新星よりも 九十年 も後になります。星雲の殻は加速しているため、R = vt の計算では爆発の時期を遅く見積もりすぎてしまうのです。
黒体放射エクスプローラー
太陽のピークは緑色である 502 nm なのに太陽光が白く見えるのは、センサーが単一の波長を報告するのに対し、人間の目が曲線全体を足し合わせているためです。四つのプリセットの中で可視光帯にピークが来るのは太陽だけです。
Gravity & Dynamics
ニュートン重力エクスプローラー
太陽が月を引く力は地球の 2.2倍 も強いため、月が太陽を回る軌道は常に太陽に向かって凹の形を描きます。一方、二つの陽子の間では、重力は電気的な反発力に 10³⁶ も負けてしまいます。
ラグランジュ点安定性エクスプローラー
ラグランジュ点付近で試験粒子を摂動させ、有界な運動と発散する運動を比較します。
ロッシュ限界計算機
土星の密度は自身の環の氷の 1.0 よりも低い 0.687 しかないため、立方根の係数によりそのロッシュ限界は土星半径の 2.15 倍まで内側に引き寄せられ、主環はその内側に位置するため決して集まって衛星になることはないのです。
三体問題シミュレーター
カオスと初期条件のわずかな違いへの敏感さを示す、インタラクティブな三体重力シミュレーション。
重力レンズ効果
光源の中間点にある 10¹² 太陽質量のレンズ天体は光を 2.854 秒角曲げますが、その計算において質量が光を放つ必要は全くなく、これこそがエネルギー密度の 26.1% を占める暗黒物質の重さを直接量れる理由です。
重力波計算機
パネルにある一つの行は設定をどう変えても c⁵/5G、すなわち 1.90 × 10²⁵ L☉ のまま決して動きませんが、ひずみの値は変化し、LIGO の 4 km の腕に対する 1.16 × 10⁻²¹ という値は陽子半径の181分の1に相当します。
Astrobiology & Planetary Science
ドレイクの方程式エクスプローラー
七つの係数のうち六つは「1,587 年に一つの通信可能な文明が誕生する」という発生率に集約され、最後の掛け算はリトルの法則であるため答えのすべては寿命 L にかかっており、私たちのこの一世紀の貢献分は 0.063 に過ぎません。
ハビタブルゾーン＋気候シミュレーター
放射収支だけを見れば地球は 254.6 K と海も含め全域が氷点下になりますが、これを 287.6 K まで引き上げる 33 K の正体は大気であり、ハビタブルゾーンの境界定義にはこの恩恵が一切考慮されていません。
地球型惑星の存在確率
150,000 個の恒星から 3,029 個の地球型惑星が存在し 242 個が検出されるという結果が、小数点以下二桁に設定された五つのスライダーから一の位まで正確に導かれますが、いずれか一つの割合に二倍の不確実性があるだけで答えは 1,515 から 6,059 の間で大きく変動してしまいます。
惑星密度計算機
地表の岩石の密度が 2.9 であるのに対し、地球の平均密度は 5.513 g/cm³ と高く、内部が鉄であることは地震学が生まれるずっと前から必然として知られていました。自己重力による圧縮を補正して比較すると、最も高密度なのは地球ではなく水星になります。
日照時間と均時差
任意の緯度と日付における日の出、日の入り、日照時間、南中時刻。均時差を地軸の傾きと公転軌道に由来する二つの成分に分けて表示します。
月齢計算機
満月の一日前の輝面割合は 100% から 98.9% へと下がるだけですが、上弦からの一日では 50% から 60.6% へと大きく変化します。月が三晩続けて満月のように見えるのも、これと同じコサイン関数の性質によるものです。
系外惑星トランジットシミュレーター
トランジットによる減光の深さは (Rp/R★)² だけで決まり、他の要素は関係ありません。公転周期を 365日 から 3日 に引き下げても 84 ppm という値は一 ppm たりとも変化せず、狭い軌道がもたらすのは、年に一回ではなく 122回 のトランジットを観測できるという事実だけなのです。
Cosmology & Observation
光の到達時間計算機
空を写した一枚の写真にあるすべての天体は、月は 1.28 秒前、太陽は 8 分 19 秒前、アンドロメダ銀河は 2.5 百万年前というようにそれぞれ異なる過去の姿を見せており、火星探査車がこれまで一度も生中継で操縦されたことがない理由もここにあります。
天文ドップラー偏移計算機
クエーサーのプリセットを読み込むと、ライマンα線が 121.567 nm から 486.268 nm へとシフトするため z = 3 となり、教科書にある v = zc に従えば光速の三倍になってしまいますが、相対論的公式を用いれば 0.882c となり決して 1 には達しません。
天文単位換算ツール
1パーセクとは 1 AU が一秒角の角度を張る距離のことであり、換算すると 206,264.8 AU、あるいは 3.2616 光年になります。なお、AU は 2012年 に地球の軌道との連動を終え、現在では正確に 149,597,870,700 m と定義されています。
宇宙の距離梯子
年周視差、ケフェイド変光星、Ia型超新星をたどりながら天文学的な距離を測定します
宇宙論的赤方偏移計算機
後退速度は z ≈ 1.5 を超えると c を上回りますが、私たちは日常的にそれより遠くの銀河を観測しており、14.5 十億光年先で c に達する地平線、46 の彼方まで見通せる地平線、そして今日 16 より遠くから放たれた光は永遠に届かないという地平線の、三つがしばしば混同されています。
視差距離計算機
測定された年周視差角から、パーセク・光年・天文単位で恒星までの距離を計算します。
視直径変換ツール
月の視直径は 0.51792° で太陽は 0.5334° と 3% だけ大きく、このわずかな差こそが皆既日食が起こる理由のすべてであり、微小角の近似を用いると 10° のとき 0.25%、60° のとき 10% の誤差が生じます。