影響圏計算機

軌道距離と質量比からパッチドコニック法によるSOIを計算し、ヒル球のスケールと比較しよう。

計算例 — 影響圏計算機

質量比	3.00×10⁻⁶
比2/5	0.006181
SOI半径	0.006181AU
SOI半径 (km)	9.246×10⁵km
ヒル半径	0.01000AU
ヒル半径 (km)	1.497×10⁶km
ヒル/SOI比	1.619

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

SOIとヒル球はなぜ異なるのか ―― 実際の宇宙探査ミッションが使うもの 🖖

これは2つの異なる問いであり、2つの異なる半径を持つ。ヒル球が問うのは、衛星がどこで安定して周回できるかということだ。これは潮汐力 ―― 惑星自身の重力と太陽の潮汐力との釣り合い ―― から導かれ、r_H = a(m₂/3m₁)^1/3となる。ラプラスのSOIはより限定的な問いを立てる。太陽を無視して惑星の重力だけが存在すると仮定するのが良い近似になるのはどこかということだ。この釣り合いからr_SOI = a(m₂/m₁)^2/5が得られる。SOIは常にヒル球より小さい ―― 地球の場合、ヒル球は約150万km、SOIは約925,000km。木星の場合、ヒル球は約5300万km、SOIは約4800万kmとなる。ただしこの比は定数ではない。(m/M)^−1/15 に比例するため、木星の1.10から水星の1.96まで幅がある。重い惑星ほど、SOIはヒル球に近づく。ミッション設計者はSOIの境界をパッチドコニック軌道の切り替え点として利用する。SOIの内側では地球中心座標で積分し、外側では太陽中心座標に切り替える。これは物理的に厳密なものではなく ―― 明確な境界は存在しない ―― が、その誤差は予備的なミッション設計には十分小さい。実際の航法に必要な完全な精度には、常にn体シミュレーションが用いられる。

重力の「なわばり」をやさしく 🖖

影響圏とは、惑星や衛星のまわりにある目に見えない泡のような領域で、その天体の重力が事実上「主導権」を握る範囲です。境界を内側へ越えれば太陽の存在は無視してよく、軌道は惑星だけが決めます。だからこそ月にも半径およそ66,000 kmの小さな影響圏があります。アポロ計画では、探査機がこの境界を越える瞬間に、軌道計算を地球中心から月中心の座標系へ切り替えていました。

なぜ距離が質量に勝るのか 🖖

式 r = a(m₂/m₁)^2/5 をよく見てください。距離 a は一次で効くのに、質量は 2/5 乗でしか効きません。つまり太陽から遠いことは、重いことよりずっと大きく効きます。冥王星の質量は水星の約25分の1ですが、その影響圏(~3百万 km)は水星(~112,000 km)をはるかに上回ります。冥王星が約100倍遠くを公転しているからです。

全プロセスの詳細解説

地球の重力が優位でなくなる場所に対する2つの標準的な解 5 ステップ
地球の重力が太陽の重力に勝てなくなるのはどこでしょうか。標準的な答えは2つあり、それらは62%異なっていますが、どちらも正しいものです。両方を計算して求め、それらを分ける要因を見つけましょう。
1. すべては1つの数値、すなわち太陽の質量に対する地球の質量の比にかかっています。以下に示す2つの公式のいずれにおいても、両天体に関してこの比率以外の数値は使用されず、相違点はその比率を何乗するかという累乗の指数のみです。したがって、どちらの公式を適用する前であっても、まずこの値がどれほど小さいかを確認しておく価値があります。
  
  $q = \frac{m}{M} = \frac{1}{332 946} = 3.00 \times 1 0^{- 6}$
2. 1つ目の答えは接続円錐曲線法による影響圏であり、その指数は2/5です。これは、計算を太陽中心系から地球中心系へ切り替える際に生じる誤差が最小となる位置を示しており、力の大きさではなく近似の精度に関する指標です。
  
  $r_{SOI} = a q^{2/5} = 1 \times (3.00 \times 1 0^{- 6})^{0.4} = 0.006181 AU$
3. 2つ目の答えはヒル半径であり、その指数は1/3です。これは、質量の小さな第三体が無限に軌道を維持し続けられる限界を示しており、遠心力項が重要となる回転座標系における安定性に関する指標です。
  
  $r_{H} = a 3 \frac{q}{3} = 3 1.001 \times 1 0^{- 6} = 0.01000 AU$
4. 答えの違いをもたらしているのはこれら2つの指数であり、両者の比率は1.619となります。
  
  $\frac{r _{H}}{r _{SOI}} = \frac{0.01000}{0.006181} = 1.619$
5. 月はこの実用上の疑問を解決してくれます。384 400 km離れた位置にある月は影響圏の42%の場所にあり、どちらの境界の十分内側に位置しています。これが、月が第2の惑星ではなく地球の月にとどまっている理由です。
  
  $r_{Moon} = 3.844 \times 1 0^{5} km = 0.416 r_{SOI}$
解答

このツールは、影響圏として0.006181 AU、ヒル半径として0.01000 AU、そして比率として1.619を出力します。重要なのは、どちらか一方だけが唯一の境界というわけではないという点です。これらは異なる問いに答えるものであり、誤った指標を用いることは実際の航法計算におけるエラーにつながります。参照系を切り替えるミッション計画担当者が求めるべきは2/5の数値であり、捕獲された小惑星が捕捉され続けられるかを検討する者が求めるべきは1/3の数値です。これら2つの半径の間に存在する天体は中途半端な帯状領域にあり、しばらくの間軌道を周回できる程度には拘束されているものの、留まり続けるほどには拘束されていません。これこそが、遠方の不規則衛星がおおむねその領域に位置し、きわめて失われやすい理由なのです。

$r_{SOI} = a q^{2/5} \neq = r_{H} = a 3 q /3 : 1.619 \times apart$

参考文献 (1)

The patched-conic method that makes the SOI boundary useful, and its limits: R. R. Bate, D. D. Mueller and J. E. White, Fundamentals of Astrodynamics, §7.4. Dover, 1971. ISBN 978-0-486-60061-1.

42Math チーム · 更新 2026-07-10

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例題

太陽を回る地球 - 地球の影響圏(SOI)は約0.006 AUで、パッチ円錐法による遷移計算の標準的な基準値である。
太陽を回る火星 - 火星は公転距離が地球より大きいものの、質量が小さいためSOIは地球より小さい。
地球を回る月 - 地球を回る月のSOIは、地球-月間の軌道を区分する際に役立つ。
太陽を回る木星 - 木星のSOIは非常に大きく、周辺の軌道形状を強く支配する。