日照時間と均時差

2026年のニューヨークで最も短い日は12月21日ですが、最も早い日の入りは12月8日です。この13日間のずれはどこから来るのでしょうか。また、どの緯度でも同じように起こるのでしょうか？

1. 日の入りは、南中時刻に半日を足したものです。時計時刻における南中時刻は、午前零時から 720 − 4λ − E + 60Z 分後となります。ここで λ は東経、Z は標準時の時差、E は均時差です。λ も Z も一年を通して変化しないため、日の入りを動かす要素は E と日照時間 D の二つしかありません。

   $$t_{\mathrm{set}}=(720-4\lambda +60Z)-E+\frac{1}{2}D$$

2. 至点前の3週間を見てみましょう。ツールによれば、南中時刻は12月1日が11:45、12月21日が11:54です。これは午前零時からそれぞれ705.1分後と714.2分後に相当します。南中時刻は9.1分遅くなっています。この中で変化する唯一の項は均時差であり、+10.92分から+1.84分へと減少しています。

   $$\Delta (-E)=714.2-705.1=+9.1\min$$

3. 同じ3週間の間に、日照時間は568.4分から555.0分へと短くなります。ツール上では 9h 28m および 9h 15m と表示されるものです。日の入りはこの変化の半分を受け持つため、6.7分早まります。

   $$\frac{1}{2}\Delta D=\frac{1}{2}(555.0-568.4)=-6.7\min$$

4. この二つを足し合わせます。日が13.3分短くなる3週間の間で、日の入りは午前零時からの経過時間が989.3分から991.7分へと、2.4分遅くなります。

   $$\Delta t_{\mathrm{set}}=+9.1-6.7=+2.4989.3\to 991.7\min$$

5. 転換点となるのは、二つの変化率が相殺される日付です。12月8日には dE/dn が1日あたり−0.441分、dD/dn の半分が−0.433分となり、ほぼ等しくなります。このときツールは日照時間を 9h 21m、日の入りを 16:28 と表示します。これが一年で最も早い日の入りです。

   $$\frac{dE}{dn}=\frac{1}{2}\frac{dD}{dn}⟹-0.441\approx -0.433$$

6. 次に、すべての緯度をまとめて考えます。Dは緯度に依存しますが、一年を通じた変化を決めるのは赤緯だけです。至点では赤緯が停留するため、どの緯度でもdD/dnはほぼ0になります。残るのはdt/dn = −dE/dnです。12月21日には一日あたり+0.497分で、式に緯度は含まれません。南緯66°から北緯66°まで百分の一度刻みで調べると、実際の変化率は赤道の+0.497から両端の+0.411までで、一度も負になりません。したがって、この範囲のどの緯度でも、最も早い日没は12月の冬至にはなりません。この議論が崩れ始めるのは、「ほぼ0になる」が成り立たなくなる場所です。北緯65.72°では、夏至の昼の長さは23時間47分です。そこから北へ百分の二度進むと丸24時間になり、dD/dnはまったく無視できません。実際、日没は一日あたり0.11分ずつ早くなっています。この帯の幅はわずか数百分の一度です。

   $${\frac{dD}{dn}|}_{n_{\mathrm{sol}}}\to 0\Rightarrow {\frac{d{t}_{\mathrm{set}}}{dn}|}_{n_{\mathrm{sol}}}=-\frac{dE}{dn}=+0.497>0$$

11月3日、時計をGMTに合わせたままにすると、ロンドンの南中は11:44になります。平均時の時計が日時計と一致するには東へどれだけ移動すればよいかを求め、そのうえで日時計が海上で経度を知る手段になり得たかどうかを判断してください。

1. 南中は平均正午を二つの要因がずらしたものですが、ここで効いてくるのは片方だけです。ロンドンは子午線から1000分の1度も離れていないため、ずれはすべて均時差によるもので、パネルはこれを+16.46分と表示します。

   $$t_{\mathrm{noon}}=720-4\lambda -E+60Z=720-4(-0.0015)-16.46+0=703.5\min$$

2. 時間と経度は、同じ一つの量を二つの単位で表したものです。その換算率を決めているのは地球の自転で、1回転が1,440分です。

   $$\frac{1440\min }{360^{\circ }}=4\min \mathrm{per}\mathrm{degree}$$

3. したがって日時計の進みは経度4.11°に相当します。その経度で平均時に合わせた時計は、ロンドンの日時計がちょうど正午を指すのと同じ瞬間に正午を打ちます。

   $$\frac{16.46}{4}=4.11^{\circ }$$

4. 地表の距離に直すと、ロンドンの緯度では東へ285 kmです。

   $$111.32\cos 51.48^{\circ }=69.3\mathrm{km}\mathrm{per}\mathrm{degree},4.11\times 69.3=285\mathrm{km}$$

5. そしてこれは逆向きにも振れます。均時差は2月11日に−14.18分で底を打つため、日時計の振れ幅は一年で30.64分、経度にして7.66°になります。

   $$E_{\max }-E_{\min }=16.46-(-14.18)=30.64\min =7.66^{\circ }$$

6. 赤道ではその振れ幅が853 kmにあたり、時計の誤差1分は27.8 kmです。均時差がどの天文暦にも表として載っていて、切り捨てられずにいるのは、この二つの数値のためです。

   $$7.66^{\circ }\times 111.32=853\mathrm{km},1\min \to 0.25^{\circ }\to 27.8\mathrm{km}$$