ビス・ビバの式

モルニヤ軌道：軌道長半径26 560 km、離心率0.74、地球周回。その周期と2つの極端な速度を求め、さらにこの軌道が実際にそれを目的に設計された数値、すなわち各周回において遠方で過ごす時間の割合を求めよ。これはツールのモルニヤ (HEO)状態であり、μ = GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s² である。

1. 軌道長半径は2つの極端な半径の平均であるため、離心率によってそれが対称に引き離される。この軌道の一端は地上わずか535 kmの上空をかすめ、もう一端は静止軌道よりも遠い39 843 kmに達する。

   $$r_p=a(1-e)=26560\times 0.26=6905.6\mathrm{km},r_a=a(1+e)=26560\times 1.74=46214.4\mathrm{km}$$

2. 周期はそれらを一切考慮しない。ケプラーの第3法則は軌道長半径のみに依存するため、この楕円軌道の周期は26 560 kmの円軌道と全く同じになる。そして、11.97 h は恒星日の半分にあたるため、この計算結果こそが設計上の眼目である。したがって、人工衛星は1日に2回同じグランドトラックをたどり、定まったスケジュールで地上局へ運用を引き継ぐことができる。

   $$T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu }}=2\pi \sqrt{\frac{(2.656\times 10^7{)}^3}{3.986\times 10^{14}}}=43079\mathrm{s}=11.97\mathrm{h}$$

3. ヴィス・ヴィヴァ方程式が必要とするのは現在の半径と軌道の大きさだけであり、近点はその両方を提供する。得られる結果は、その高度から地球を脱出できる速度の93%に相当する。離心率の非常に高い軌道は、最下点においては脱出速度に限りなく近い。

   $$v_p=\sqrt{\mu \left(\frac{2}{r_p}-\frac{1}{a}\right)}=\sqrt{3.986\times 10^{14}\left(\frac{2}{6.906\times 10^6}-\frac{1}{2.656\times 10^7}\right)}=10.021km/s$$

4. もう一端で半径のみを変化させて同じ方程式を適用すると、7倍近く遅い速度が得られる。この倍率は新しい情報ではない。角運動量 rv は保存されるため、2つの速度は2つの半径に反比例しなければならず、半径の比はステップ1ですでに e によって決定されているからである。

   $$v_a=\sqrt{\mu \left(\frac{2}{r_a}-\frac{1}{a}\right)}=1.497km/s,\frac{v_p}{v_a}=\frac{r_a}{r_p}=\frac{1+e}{1-e}=6.69$$

5. 遠点付近で遅いということは、遠点付近で長い時間を過ごすことを意味し、ケプラーの第2法則がそれを厳密なものにする。等しい時間には等しい面積が描かれるため、周期の割合は面積の割合となる。短軸は楕円を2つの等しい半分に分割し、r = a となる位置で軌道と正確に交差する。したがって遠方側で地球から描かれる面積は、その半分に焦点と軸の間の三角形を加えたものになる。比を計算すると a と b の両方が相殺され、離心率だけが残る。

   $$\frac{t_{r>a}}{T}=\frac{\frac{1}{2}\pi ab+abe}{\pi ab}=\frac{1}{2}+\frac{e}{\pi }=0.5+0.2356=0.7355⟹0.7355\times 11.97=8.80\mathrm{h}$$