ケプラーの法則軌道シミュレーター
惑星運動に関するケプラーの法則をデモンストレーションします。軌道長半径、離心率、中心質量を調整して軌道をアニメーション表示し、速度ベクトルや等面積の扇形を確認できます。
インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...
ケプラー方程式 🖖
ケプラー方程式 M = E − e sin E は、平均近点角 M から離心近点角 E を求めるための解析的な閉じた形の解を持ちません。これは何世紀にもわたり、天体力学における計算上の大きな難問でした。現代のシミュレーションでは、ニュートン＝ラフソン法などの数値解法を用いて反復計算を行います。通常3〜5回の反復で収束するため、数値計算は17世紀以来、天体力学にとって不可欠なツールとなっています。
離心率が本当に意味するもの 🖖
離心率はこのスライダーが操る唯一の数で、軌道がどれだけ引き伸ばされているかを表します。e = 0 では完全な円になり、1 に近づけると楕円は彗星の軌道のように細長く伸び、恒星は中心ではなく一方の焦点に片寄って位置します。意外なことに、地球の軌道は e = 0.017 でほぼ円です。季節は太陽との距離の変化ではなく、地軸の傾きから生じます。
なぜ楕円はぴたりと閉じるのか 🖖
惑星は永遠にまったく同じ楕円を描き、ゆっくり回転するバラ飾り模様へとずれていくことはありません。これは当たり前ではありません。ベルトランの定理は、束縛軌道が一周で閉じる力の法則はわずか二つ - 逆二乗の重力(1/r²)と調和的なばねの力(∝ r) - だけであることを証明しています。ほかのどんなべき乗則でも、軌道は完全には繰り返しません。きれいに閉じた楕円は、重力が正確に 1/r² の形をしている証拠なのです。