ロッシュ限界計算機

主星の半径と密度差から、流体モデルと剛体モデルのロッシュ限界を比較する。

計算例 — ロッシュ限界計算機

密度比 η	1.182
ロッシュ限界距離	1.837×10⁴km
表面からの高度	1.20×10⁴km
流体限界 (km)	1.837×10⁴km
剛体限界 (km)	9.485×10³km

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土星は自身の環よりも密度が低い 🖖

土星の密度は、自身の環をつくる氷よりも低く、0.687に対して1.0である。これは、ロッシュ限界について抱きがちな直観を覆す。教科書に出てくる係数2.44には密度比の立方根を掛けるが、ここでの倍率は1を超えず、0.88となる。そのため限界は内側へ移り、土星半径の2.15倍、約125,000 kmになる。土星の密度の高い主環は、その内側にある。この領域では物質が集積して衛星になることはできない。重力が物質をまとめるより先に、潮汐力がそれを引き離すからだ。係数は天体の性質にも左右され、内部強度がなければ2.44、物質の強度が自己重力を補う場合は1.26となる。

ロッシュ限界が本当に測っているもの 🖖

自己重力だけでまとまっている衛星を思い浮かべよう。惑星に近づくほど、惑星が衛星の手前側を引く力と奥側を引く力の差が大きくなり、衛星は引き伸ばされる。ロッシュ限界を越えると、この力が自己重力に勝って衛星を引き裂く。衛星の質量は、式を整理すると完全に消える。距離を決めるのは二つの密度と惑星の半径だけなので、密度の高い衛星ほど惑星の近くを安全に公転できる。

火星はゆっくり自前の環を育てている 🖖

火星の大きい方の衛星フォボスは静止軌道より内側を回っているため、潮汐による抵抗で1世紀あたり約2メートルずつ内側へ螺旋を描いている。約3000万〜5000万年後には火星のロッシュ限界を越えて砕け、おそらく惑星を巡る一時的な環として広がるだろう。フォボスを刻む奇妙な平行の溝は、すでに潮汐による引き伸ばしが生んだ応力割れかもしれない——最終的な崩壊のはるか前に最初のひびを見せる衛星である。

全プロセスの詳細解説

潮汐力が衛星を引き裂く前の流体限界 5 ステップ
潮汐力によって引き裂かれることなく、衛星は地球にどこまで近づくことができるでしょうか？ 流体限界を計算し、剛体の場合の答えがなぜその半分の距離にしかならないのかを説明しなさい。
1. 衛星を一体に保とうとする衛星自身の重力と、衛星の直径にわたる地球の引力の差（潮汐力）とのせめぎ合いです。どちらも衛星の大きさに応じてスケールするため衛星の半径は相殺されます。これが、限界距離が衛星の大きさではなく密度に依存する理由です。
  
  $d_{fluid} = 2.44 R (\frac{ρ _{M}}{ρ _{m}})^{1/3}$
2. したがって密度の比だけが関係し、それも立方根として作用するため、値は大きく緩和されます。地球の密度は月の1.65倍であり、その立方根は1.182です。
  
  $(\frac{5.51}{3.34})^{1/3} = (1.6497)^{1/3} = 1.182$
3. 主星の半径と流体の定数を掛け合わせます。計算結果は地球の中心から18 368 kmとなります。
  
  $d = 2.44 \times 6371 \times 1.182 = 1.837 \times 1 0^{4} km$
4. 地球の半径を引くと標高（高度）は約12 000 kmとなり、パネルの表示値と一致します。
  
  $d - R = 18368 - 6371 = 1.20 \times 1 0^{4} km altitude$
5. 剛体の定数は流体の2.44に対して1.26です。固体の物体は破壊されるまで変形に耐えるのに対し、流体はまず変形して引き伸ばされ、それによって物体にかかる潮汐力の差がさらに拡大するという、剛体にはない暴走プロセスが生じるためです。
  
  $\frac{2.44}{1.26} = 1.94, \frac{384 400}{18 368} = 20.9 (the Moon)$
解答

ツールに表示される密度比は1.182、流体ロッシュ限界は1.837 × 10⁴ km、剛体ロッシュ限界は9.485 × 10³ kmです。同じ問いから得られる二つの答えには1.94倍の開きがあります。月の軌道半径は384,400 kmで、流体ロッシュ限界の約21倍もあるため、破砕されるおそれはありません。一方、土星の環は土星のロッシュ限界の内側にあります。衛星にならず環として存在する理由は、これで説明されるのが一般的です。土星のプリセットを選ぶと、氷天体に対する流体ロッシュ限界は1.254 × 10⁵ kmと表示されます。A環の外縁は136,800 kmに位置します。明るい環の大部分はこの限界の内側に収まり、一部だけが外側にあります。

$d \propto R (\frac{ρ _{M}}{ρ _{m}})^{1/3}; rigid = 9485 km, fluid = 18368 km$

参考文献 (1)

Insight block 3 — the grooves on Phobos read as tidal stress fractures: T. A. Hurford et al., "Tidal disruption of Phobos as the cause of surface fractures." Journal of Geophysical Research: Planets 121(6), 1054–1065, 2016.

42Math チーム · 更新 2026-07-13

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例題

地球-月の密度 - 流体ロッシュ限界は地球の中心から1.837 × 10⁴ km、地表から約12,000 kmの位置にある。月の軌道半径は384,400 kmで、その二十一倍も遠い。
土星 + 氷天体 - 土星の密度0.687を氷の1.0と比べると、密度による倍率は1未満になる。したがって限界は1.254 × 10⁵ km、土星半径の2.15倍まで内側へ移り、教科書どおりの2.44倍にはならない。
木星 + 岩石質の衛星 - 木星で岩石に対する剛体ロッシュ限界を求めると6.710 × 10⁴ kmで、木星そのものの内部に入る。したがって固い岩石なら、ロッシュ限界に妨げられず低い軌道を回れる。それでもシューメーカー・レヴィ第9彗星は1992年に分裂した。ラブルパイル天体には剛体としての強度がなく、流体ロッシュ限界は1.299 × 10⁵ kmになるからだ。
白色矮星の極端な例 - 水の百万倍の密度をもつ主天体では、ロッシュ限界は1.203 × 10⁶ kmまで広がる。白色矮星自身の半径の138倍である。